不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧

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1、學(xué)科網(wǎng)(ZXXK.COM)-精品系列資料上學(xué)科網(wǎng)，下精品資料！不等式恒成立問題中的參數(shù)求解技巧在不等式中，有一類問題是求參數(shù)在什么范圍內(nèi)不等式恒成立。恒成立條件下不等式參數(shù)的取值范圍問題，涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，同時(shí)數(shù)學(xué)語言抽象，如何從題目中提取可借用的知識(shí)模塊往往捉摸不定，難以尋覓，是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn)。其方法大致有：①用一元二次方程根的判別式，②參數(shù)大于最大值或小于最小值，③變更主元利用函數(shù)與方程的思想求解。本文通過實(shí)例，從不同角度用常規(guī)方法歸納，供大家參考。一、用一元二次方程根的判別式有關(guān)含有參數(shù)的一元

2、二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題得到順利解決。例1對(duì)于x∈R，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：不妨設(shè)，其函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，為了使，只需，即，解得。變形：若對(duì)于x∈R，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。此題需要對(duì)m的取值進(jìn)行討論，設(shè)。①當(dāng)m=0時(shí)，3>0，顯然成立。②當(dāng)m>0時(shí)，則△<0。③當(dāng)m<0時(shí)，顯然不等式不恒成立。由①②③知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：對(duì)于有關(guān)二次不等式（或<0）的問題，可設(shè)函數(shù)，由a的符號(hào)確定其拋物線的開口方向，再根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，由判別式進(jìn)行解決。例

3、2已知函數(shù)，在時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：令，則對(duì)一切恒成立，而是開口向上的拋物線。①當(dāng)圖象與x軸無交點(diǎn)滿足△<0，即，解得－2

4、網(wǎng)-精品系列資料版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)學(xué)科網(wǎng)(ZXXK.COM)-精品系列資料上學(xué)科網(wǎng)，下精品資料！解：x∈［0，1］時(shí)，，即①當(dāng)x=0時(shí)，a∈R②當(dāng)x∈時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為恒成，由恒成立，即求的最大值。設(shè)。因?yàn)闇p函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，，可得。由恒成立，即求的最小值。設(shè)。因?yàn)樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，，可得a≤0。由①②知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：在閉區(qū)間［0，1］上使分離出a，然后討論關(guān)于的二次函數(shù)在上的單調(diào)性。例4若不等式在x∈［1，2］時(shí)恒成立，試求a的取值范圍。解：由題設(shè)知，得a>0，可知a+x>1，所以。原不等式變形為。，即。又，可得恒成立。設(shè)，在x∈［1，2

5、］上為減函數(shù)，可得，知。綜上知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：將參數(shù)a從不等式中分離出來是解決問題的關(guān)鍵。例5是否存在常數(shù)c使得不等式，對(duì)任意正數(shù)x、y恒成立？試證明你的結(jié)論。解：首先，欲使恒成立（x、y>0），進(jìn)行換元令?！嗌鲜霾坏仁阶?yōu)椋春愠闪?。尋求的最小值，?學(xué)科網(wǎng)-精品系列資料版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)學(xué)科網(wǎng)(ZXXK.COM)-精品系列資料上學(xué)科網(wǎng)，下精品資料！a>0，b>0，利用基本不等式可得。同理欲使恒成立，令，得∴上述不等式變?yōu)?，即。尋求的最大值，易得。綜上知存在使上述不等式恒成立關(guān)鍵點(diǎn)撥：本題是兩邊夾的問題，利用基本不等式，右邊尋找最小值，左邊尋找最

6、大值，可得c=三、變更主元在解含參不等式時(shí)，有時(shí)若能換一個(gè)角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。例6若不等式，對(duì)滿足所有的x都成立，求x的取值范圍。解：原不等式可化為令是關(guān)于m的一次函數(shù)。由題意知解得∴x的取值范圍是關(guān)鍵點(diǎn)撥：利用函數(shù)思想，變換主元，通過直線方程的性質(zhì)求解。例7已知是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。（1）判斷函數(shù)在［－1，1］上是增函數(shù)還是減函數(shù)。（2）解不等式。（3）若對(duì)所有、a∈［－1，1］恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）設(shè)，則4學(xué)科網(wǎng)-精品系列

7、資料版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)學(xué)科網(wǎng)(ZXXK.COM)-精品系列資料上學(xué)科網(wǎng)，下精品資料！，可知，所以在［－1，1］上是增函數(shù)。（2）由在［－1，1］上是增函數(shù)知解得，故不等式的解集（3）因?yàn)樵冢郏?，1］上是增函數(shù)，所以，即1是的最大值。依題意有，對(duì)a∈［－1，1］恒成立，即恒成立。令，它的圖象是一條線段，那么。關(guān)鍵點(diǎn)撥：對(duì)于（1），抽象函數(shù)單調(diào)性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號(hào)。對(duì)于（2），后一步解不等式往往是上一步單調(diào)性的繼續(xù)，通過單調(diào)性、函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化到自變量的大小上來。對(duì)于（3），轉(zhuǎn)換視角變更主元，把看作關(guān)于a的一次函數(shù)，即

8、在a∈［－1，1］上大于等于0，利用是一條直線這一圖象特征，數(shù)形結(jié)合得關(guān)于m的不等式組，從而求得m的范圍。4學(xué)科網(wǎng)-精品系列資料版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)