不等式恒成立問題中的參數(shù)求解策略

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1、不等式恒成立問題中的參數(shù)求解策略摘要：不等式恒成立問題的題目一般綜合性都比較強(qiáng)，本文結(jié)合例題談?wù)劜坏仁胶愠闪栴}中參數(shù)的求解策略關(guān)鍵詞：不等式；恒成立；求解策略四川省仁壽縣鐘祥中學(xué)余仁宏620593在不等式中，有一類問題是求參數(shù)在什么范圍內(nèi)不等式恒成立。恒成立條件下不等式參數(shù)的取值范圍問題，涉及的知識面廣，綜合性強(qiáng)，同時數(shù)學(xué)語言抽象，如何從題目中提取可借用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)，同時也是高考命題中的一個熱點(diǎn)。下面結(jié)合例題淺談不等式恒成立問題的解題策略題型一、可化為二次函數(shù)類型有關(guān)

2、含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題得到順利解決。常常有以下兩類情況：㈠可化為二次函數(shù)在R上恒成立問題設(shè)，（1）上恒成立；（2）（2）上恒成立。例1對于x∈R，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。解：不妨設(shè)，其函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，為了使，只需，即，解得。變形：若對于x∈R，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。此題需要對m的取值進(jìn)行討論，設(shè)。①當(dāng)m=0時，3>0，顯然成立。②當(dāng)m>0時，則△<0。③當(dāng)m<0時，顯然不等式不恒成立。由①②③知。

3、關(guān)鍵點(diǎn)撥：對于有關(guān)二次不等式（或<0）的問題，可設(shè)函數(shù)，由a的符號確定其拋物線的開口方向，再根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，由判別式進(jìn)行解決。㈡可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上恒成立問題設(shè)（1）當(dāng)時，上恒成立，-7-上恒成立（2）當(dāng)時，上恒成立上恒成立例2已知函數(shù)，在時恒有，求實數(shù)k的取值范圍。解：令，則對一切恒成立，而是開口向上的拋物線。①當(dāng)圖象與x軸無交點(diǎn)滿足△<0，即，解得－2

4、問題得到圓滿解決。二、利用函數(shù)最值法（分離參數(shù)法）如果能夠?qū)?shù)分離出來，建立起明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性求解。恒成立，即大于時大于函數(shù)值域的上界。恒成立，即小于時小于函數(shù)值域的下界。例3（1）求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。⑵已知二次函數(shù)，如果x∈［0，1］時，求實數(shù)a的取值范圍。解：x∈［0，1］時，，即①當(dāng)x=0時，a∈R②當(dāng)x∈時，問題轉(zhuǎn)化為恒成，由恒成立，即求-7-的最大值。設(shè)。因為減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時，，可得。由恒成立，即求的最小值。設(shè)。因為增

5、函數(shù)，所以當(dāng)x=1時，，可得a≤0。由①②知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：在閉區(qū)間［0，1］上使分離出a，然后討論關(guān)于的二次函數(shù)在上的單調(diào)性。三、變換主元法，適用于一次函數(shù)型在解含參不等式時，有時若能換一個角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。例6若不等式，對滿足所有的x都成立，求x的取值范圍。解：原不等式可化為令是關(guān)于m的一次函數(shù)。由題意知解得∴x的取值范圍是關(guān)鍵點(diǎn)撥：利用函數(shù)思想，變換主元，通過直線方程的性質(zhì)求解。四、數(shù)形結(jié)合法對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例7、當(dāng)x(

6、1,2)時，不等式(x-1)21,并且必須也只需故loga2>1,a>1,1

7、可轉(zhuǎn)化為恒成立，即參數(shù)分離后，恒成立，接下來可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：如果時，恒有意義，對恒成立.恒成立。令，又則對恒成立，又在上為減函數(shù)，，。2、設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問題轉(zhuǎn)化為對于任意恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：是增函數(shù)對于任意恒成立對于任意恒成立對于任意恒成立，令，-7-，所以原問題，又即易求得。3、已知當(dāng)xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。方法一）分析：在不等式

8、中含有兩個變量a及x，本題必須由x的范圍（xR）來求另一變量a的范圍，故可考慮將a及x分離構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)定義域上的最值求解a的取值范圍。解：原不等式當(dāng)xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立設(shè)則∴方法二）題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次不等式，從而可利用二次函數(shù)