5、不等式/(x)>0或(50)恒成立<=>[/(兀)]罰“或M(x)]喚50例2.已知f(x)=x2+2ax+1(1)對一切XWR,不等式/(X)>0tH成立,求實數(shù)G的取值范圍;(2)對一切xg[0,2],不等式f(x)>a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.【解】(1)對一切xwR,不等式/(x)>0^h成立<=>△=46?2-4<0,解得一IWqWI(2)對_切xwD,不等式/(x)>a2恒成立?[/(x)]^>a2[-a<0[0<-a<2U/(x)]min=/(0)=>a2[[/(x)]min=f(-a)=-a2>a2或嚴
6、>2I"⑴%=/(2)=5+4淪/解得05d51或—f,所以Q的取值范圍為[_J3,]]【點評】對于這類不等式怛成立問題,比較難分離變量,并且又是二次不等式問題,所以我們可以利用“三個二次”(二次兩數(shù)、二次不等式、二次方程)的關(guān)系進行相互轉(zhuǎn)化,從而求參數(shù)的取值范圍.2?利用函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍例3.(2008年天津卷)已知函數(shù)/(x)=x4-—+b(x0),M-中(I)若曲線y=/(x)在點P(2,/(2))處的切線方程為y=3x+l,求函數(shù)/(兀)的解析式;(II)討論函數(shù)/⑴的單調(diào)性;(III)若對于任意的aw-
7、,2,不等式/(x)<10在-,1上恒成立,求b的取值范圍.【解】(I)廠(兀)=1一二,由導數(shù)的幾何意義得廣(2)=3,于是a=—8.由切點P(2,f(2))在直線y=3兀+1上可得一2+b=7,解得b=9.Q所以函數(shù)/(x)的解析式為fM=x一一+9.(II)r(x)=1_7-當dSO時,顯然廣(x)>0(兀工0).這時f(x)在(-00,0),(0,+00)上內(nèi)是增函數(shù).當°〉0時,令/V)=0,解得x=±需.當x變化吋,廣(%),/(幻的變化情況如下表:X(-00,-需)-y[a(―Va,o)(0,需)(需,+00)廣
8、⑴+0——0+/U)7極大值極小值/所以/(兀)在(-co,-喬),(奶,+00)內(nèi)是增函數(shù),在(-喬,()),(0,+oo)內(nèi)是減函數(shù).39b<—-4a4b<9-a(III)由(II)知,于⑴在[丄,1]上的最大值為/(-)Uf⑴的較大者,對于任意的4?411)<10aw[—,2],不等式/(x)<10在[―,1]上叵成立,當且僅當『42°幾1)510對任意的QW[丄,2]成立.從而得/7<-,所以滿足條件的b的取值范圍是(-00,?].244【點評】對于這類不等式恒成立問題,也是比較難分離變量,并且乂不是二次不等式問題,
9、但我們可以利用兩數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍.三、利用數(shù)形結(jié)合法,求參數(shù)的取值范圍某些含參不等式恒成立問題,既不能分離參數(shù)求解,又不能轉(zhuǎn)化為某個變量的一次或二次函數(shù)時,則可采用數(shù)形結(jié)合法.變抽象為宜觀,充分運用肓感,由數(shù)思形,以形輔數(shù).對于解含參不等式恒成立問題,我們可以先把