淺談“不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的求解策略”

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1、淺談“不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的求解策略”廣東北江中學黃永石內(nèi)容摘要：在這幾年的高考中經(jīng)常會出現(xiàn)“不等式恒成立”這類問題，由于該類問題涉及的知識面廣、綜合性強、解法靈活，學生經(jīng)常會無從下手.而解決這類問題的關(guān)鍵是：能夠?qū)Α安坏仁胶愠闪栴}”進行等價轉(zhuǎn)化，把這類問題轉(zhuǎn)化為對兩數(shù)性質(zhì)的考察.本文列舉實例，介紹這類問題的一些基本的求解策略.關(guān)鍵詞：不等式、恒成立、分離變量、參數(shù)一、利用分離變量法，求參數(shù)的取值范圍例1.(2008年上海卷)已知函數(shù)f(x)=2x-—.(1)若/(%)=2,求兀的值;(2)若2?、?+吋(心0對于re

2、[1,2]恒成立,求實數(shù)加的取值范圍.【解】(1)當x<0時，/(x)=0;當淪0時=2由條件可知,2"-丄=2,即22x-2-2x-1=0,解得2X=1±V2.2X???2x>0,,x=log2(H-V2)>0,即-l)>-(24f-1).???22z-1>0,m>—(2“+1).令g(r)=-(22/+1)，vre[1,2],???[g(嘰=-5,所以/n>[g(/)]max=二-5.故m的収值范圍是[-5,亦)【點評】對于這類不等式恒成立問題，我們根據(jù)其特征町以用分離變量法來解決.所謂分離變量法就是將參數(shù)與未知量分離丁

3、?表達式的兩邊,然后根據(jù)未知量的取值范圍情況決定參數(shù)的范圍.常用的兩個恒成立原理：(1)6/>/W恒成立oa>[/(x)]niax；(2)?

4、h成立<=>tz<[/(x)]max.利用分離變量法把這類不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.二、利用函數(shù)的性質(zhì)，求參數(shù)的取值范圍1?利用“三個二次”(二次函數(shù)、二次不等式、二次方程)的關(guān)系進行相互轉(zhuǎn)化，從而求參數(shù)的取值范圍.常見類型有：設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2^-bx+c(1)對一切XWR,不等式/(x)>0或(50)恒成立O：；：》或

5、不等式/(x)>0或(50)恒成立<=>[/(兀)]罰“或M(x)]喚50例2.已知f(x)=x2+2ax+1(1)對一切XWR,不等式/(X)>0tH成立，求實數(shù)G的取值范圍；(2)對一切xg[0,2],不等式f(x)>a2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解】(1)對一切xwR,不等式/(x)>0^h成立<=>△=46?2-4<0,解得一IWqWI(2)對_切xwD,不等式/(x)>a2恒成立?[/(x)]^>a2[-a<0[0<-a<2U/(x)]min=/(0)=>a2[[/(x)]min=f(-a)=-a2>a2或嚴

6、>2I"⑴％=/(2)=5+4淪/解得05d51或—f，所以Q的取值范圍為[_J3,]]【點評】對于這類不等式怛成立問題，比較難分離變量，并且又是二次不等式問題，所以我們可以利用“三個二次”(二次兩數(shù)、二次不等式、二次方程)的關(guān)系進行相互轉(zhuǎn)化，從而求參數(shù)的取值范圍.2?利用函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍例3.(2008年天津卷)已知函數(shù)/(x)=x4-—+b(x0),M-中(I)若曲線y=/(x)在點P(2,/(2))處的切線方程為y=3x+l,求函數(shù)/(兀)的解析式;(II)討論函數(shù)/⑴的單調(diào)性；(III)若對于任意的aw-

7、,2,不等式/(x)<10在-,1上恒成立,求b的取值范圍.【解】(I)廠(兀)=1一二，由導數(shù)的幾何意義得廣(2)=3,于是a=—8.由切點P(2,f(2))在直線y=3兀+1上可得一2+b=7,解得b=9.Q所以函數(shù)/(x)的解析式為fM=x一一+9.（II）r（x）=1_7-當dSO時，顯然廣（x）>0（兀工0）.這時f（x）在（-00,0）,（0,+00）上內(nèi)是增函數(shù).當°〉0時，令/V）=0,解得x=±需.當x變化吋，廣（％）,/（幻的變化情況如下表:X(-00,-需)-y[a(―Va,o)（0,需）(需,+00)廣

8、⑴+0——0+/U)7極大值極小值/所以/（兀）在（-co,-喬），（奶,+00）內(nèi)是增函數(shù)，在（-喬,（）），（0,+oo）內(nèi)是減函數(shù).39b<—-4a4b<9-a（III）由（II）知，于⑴在［丄,1］上的最大值為/（-）Uf⑴的較大者，對于任意的4?411）<10aw［—,2］,不等式/（x）<10在［―,1］上叵成立，當且僅當『42°幾1）510對任意的QW［丄,2］成立.從而得/7<-,所以滿足條件的b的取值范圍是（-00,?］.244【點評】對于這類不等式恒成立問題，也是比較難分離變量，并且乂不是二次不等式問題,

9、但我們可以利用兩數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍.三、利用數(shù)形結(jié)合法，求參數(shù)的取值范圍某些含參不等式恒成立問題，既不能分離參數(shù)求解，又不能轉(zhuǎn)化為某個變量的一次或二次函數(shù)時，則可采用數(shù)形結(jié)合法.變抽象為宜觀，充分運用肓感，由數(shù)思形，以形輔數(shù).對于解含參不等式恒成立問題，我們可以先把