恒成立問題中含參范圍的求解策略

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1、恒成立問題中含參范圍的求解策略數學中含參數的恒成立問題，幾乎覆蓋了函數，不等式、三角，數列、幾何等高屮數學的所有知識點,涉及到一些重耍的數學思想方法,歸納總結這類問題的求解策略,不但可以讓學生形成良好的數學思想，而□對提高學生分析問題和解決問題的能力是很有幫助的，F面就兒種常見的求解策略總結如下，供大家參考。一、分離參數——最值化對于某些恒成立問題，可將其中的參數分離出來，將原問題轉化為a>f(x)(或avf(x))在給定區(qū)間上恒成立oa>f(x)n和(或avf(x)min),從而將原問題轉化為求兩數的最人值或最小值問題。例1當XG(-00,1J時，不等式(a-a2)4x+2X+1>°恒

2、成立，求實數a的取值范圍。2⑴％a—a〉一一一一解析：因4X>0,所以14丿(2丿對xe(-00,1]恒成立，即有時，f(x)喰f(x)=-

3、max,由于1__323.2._n13—a—a〉—4a—4a—3v0—va<—.4,所以4224.JJj在(-°°，1]上是增函數，所以當X=1丄+丄‘旦例2設a>b>c且a-bb-ca-cfH成立，求實數m的取值范圍。m<(a-c)于是3-b(11)<11、'b-ca—b))—+—=[(a-b)+(b-c)]+=1+1+4-2L-0b-C丿—bb—c丿c,所以a-c>01)4b-c丿恒成立,>24-(a-(當且僅當

4、b-c=a-b時取等號)，故mS4。二、數形結合——直觀化對于某些不容易分離出參數的協(xié)成立問題，可利用函數的圖像或相應圖形，采用數形結合的思想，直觀地反應出參數的變化范圍。例3當2()時，恒有(5-“)x2+6x+a+5〉0成立，求實數a的取值范圍。解析：令f(x)=(5-a)x2+6x+a+5,由題意，f(x)>0對xw[0,+oo)恒成立。(1)當5-a=0,即a=5時，有6x+1()〉()對xw[0,+co)恒成立。(2)當5-az0時，結合二次函數的圖像，2(5-a)?f(0)>05-a>02(5-a)<5-a>0A=36-4(5-a)(a+5)<0或?=>-5

5、<4=>-5

6、+亠"亠+亠例5是否存在常數c,使得不等式2x+yx+2yx+2y2x+y對任意的正實數x,y恒成立？并證明你的結論。2—2_2解析：令x=y得33,冇3先證2x+yx+2y3成立o證3x(x+2y)+3y(2x+y)W2(2x+y)(x+2y)成立o證2xy2xy成立，此時也顯然成立。故存在常數c,使得原不等式對任意的正實數x,y恒成立。例6設f(x)=l+2cosx+3sinx。若對于任意xeR,af(x)+bf(x-c)=l恒成立，試確

7、定常數a,b,Cox=0，一，兀解析：取2分別代入已知等式，2bcosc-3bsinc=l-3a-b(1)-2bcosc+3bsinc=1+a—b(2)即3bcosc+2bsinc=1-4a-b(3)(1)+(2)得，a+b=l(4)rh(2)(3)(4)得b-isine=0,cosc=(b工0)bsin2c+cos2c=1得b?=(b-1)_,』a=l解得2,從而2b-1cosc==-1再由b再C=2k7T+K(kGZ).a=b=—,c=2kjt+7i(kwZ)將求解的a、b、c代入已知等式驗證適合，故2四、變更主元——簡單化對含多個變量問題，有時變換主元與次元的位置，常能達到避繁就簡

8、的H的。2x+a-l恒成立,求實數X的取值范碉。z]xx2+axz]x2x+a-l_V_<=>7解析:不等式(2丿(2丿不等式+ax>2x+a-1g卩(x-1)?>-a(x-1)記f(a)=a(x-l)+(x-l)2,則問題轉化為一次函數(或常數函數)在區(qū)間［—1,1］內恒為正的x應滿足的條件。f(-l)>0由(f⑴>()得f(x-l)2-(x-l)>0.<<=>x<0〔(X_1)2+(x-1)>0或x>2.故實數X的取值范圍是(Y