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1、含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結(jié)合起來,其以覆蓋知識點多,綜合性強,解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面,在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力,培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結(jié)合實例談?wù)勥@類問題的一般求解策略。一、判別式法若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式,則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地,對于二次函數(shù),有1)對恒成立2)對恒成立例1.已知函數(shù)的定義域為
2、R,求實數(shù)的取值范圍。解:由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立,即有解得所以實數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制,則可利用根的分布解決問題。例2.設(shè),當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍。解:設(shè),則當時,恒成立Oxyx-1當時,顯然成立;當時,如圖,恒成立的充要條件為:解得。綜上可得實數(shù)的取值范圍為。精選二、最值法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法,其一般類型有:1)恒成立2)恒成立例3.已知,當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍。解:設(shè),則由題可知對任意恒成立令,得而∴∴即實數(shù)的取值范圍為。例4.函數(shù),若對任
3、意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍。解:若對任意,恒成立,即對,恒成立,考慮到不等式的分母,只需在時恒成立而得而拋物線在的最小值得注:本題還可將變形為,討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端,從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值,進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值,但它思路更清晰,操作性更強。一般地有:精選1)恒成立2)恒成立實際上,上題就可利用此法解決。略解:在時恒成立,只要在時恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為,所以。例5.已知函數(shù)時恒成立,求實數(shù)的取值范圍。解:
4、將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立。令,則由可知在上為減函數(shù),故∴即的取值范圍為。注:分離參數(shù)后,方向明確,思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時,若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考,往往會使問題降次、簡化。例6.對任意,不等式恒成立,求的取值范圍。分析:題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式,但若把看成主元,則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解:令,則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立()。當時,可得,不合題意。當時,應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。精選注:一般地,一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。五、數(shù)形結(jié)
5、合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”,這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處,在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道,函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系:1)函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方;2)函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例7.設(shè),,若恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.分析:在同一直角坐標系中作出及的圖象如圖所示,的圖象是半圓的圖象是平行的直線系。要使恒成立,則圓心到直線的距離滿足解得(舍去)由上可見,含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多,方法也多種多樣,但其核心思想還是等價轉(zhuǎn)化,抓住了這點,才能以“
6、不變應(yīng)萬變”,當然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會和總結(jié)。精選