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1、含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結(jié)合實例談?wù)勥@類問題的一般求解策略。一、判別式法若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1）對恒成立2）對恒成立例1．已知函數(shù)的定義域為
2、R，求實數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，即有解得所以實數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例2．設(shè)，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當時，恒成立Oxyx-1當時，顯然成立；當時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數(shù)的取值范圍為。精選二、最值法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3．已知，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則由題可知對任意恒成立令，得而∴∴即實數(shù)的取值范圍為。例4．函數(shù)，若對任
3、意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：精選1）恒成立2）恒成立實際上，上題就可利用此法解決。略解：在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。例5．已知函數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：
4、將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故∴即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例6．對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當時，可得，不合題意。當時，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。精選注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。五、數(shù)形結(jié)
5、合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例7．設(shè),,若恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.分析：在同一直角坐標系中作出及的圖象如圖所示，的圖象是半圓的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足解得（舍去)由上可見，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉(zhuǎn)化，抓住了這點，才能以“
6、不變應(yīng)萬變”，當然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會和總結(jié)。精選
