例談含參不等式恒成立問題的求解策略

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1、例談含參不等式恒成立問題的求解策略：近幾年在數(shù)學(xué)高考中經(jīng)常遇到含參數(shù)不等式的恒成立問題。本文根據(jù)高考題及高考模擬題總結(jié)了五種常見的解決不等式恒成立問題的方法?！　￡P(guān)鍵詞：含參不等式;恒成立　　　　一、用一元二次方程根的判別式　　有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題得到順利解決。一般地，對于二次函數(shù),有　　1）對恒成立;　　2）對恒成立　　例1．設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！　〗猓涸O(shè)，則當(dāng)恒成立　　當(dāng)顯然成立；　　當(dāng)時(shí)，如圖，恒成立的充要條件為：　　　　　　　　　　綜上可得

2、實(shí)數(shù)m的取值范圍為?！　￡P(guān)鍵點(diǎn)撥：為了使在恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決?！　《⒆钪捣ā　⒉坏仁胶愠闪栴}轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：　　1）恒成立　　2）恒成立　　例2函數(shù)，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！　〗猓喝魧θ我夂愠闪?，　　即對恒成立，　　考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得而拋物線的最小值得　　注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。　　三、分離變量法　　若所給的不等式能通過恒等變形將參數(shù)分離出來，建立起明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系，從而問題

3、轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：　　1）恒成立　　2）恒成立　　例3.已知二次函數(shù)，如果x∈［0，1］時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！　〗猓簒∈［0，1］時(shí)，，即　?、佼?dāng)x=0時(shí)，a∈R；　?、诋?dāng)x∈時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為恒成，由恒成立，即求的最大值。設(shè)?！　∫?yàn)闇p函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，?！　　　∮珊愠闪ⅲ辞蟮淖钚≈?。設(shè)。因?yàn)樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，，可得a≤0?！　∮散佗谥！　￡P(guān)鍵點(diǎn)撥：在閉區(qū)間［0，1］上使分離出a，然后討論關(guān)于的二次函數(shù)在上的單調(diào)性?！　∷摹⒆儞Q主元法　　處理含參不等式

4、恒成立的某些問題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化?！　±?．對于滿足的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，試求x的取值范圍．　　分析：習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，記函數(shù)，于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒成立，求x的取值范圍．解決這個(gè)等價(jià)的問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當(dāng)復(fù)雜的．　　解：設(shè)函數(shù)，顯然，則是p的一次函數(shù)，要使恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，解得x的取值范圍是．　　注：本題看上去是一個(gè)不等式問題，但是經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)化，把它化歸為關(guān)于p的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換變量角色．　　五、數(shù)形結(jié)合

5、法　　1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；　　2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。　　例5．設(shè)若不等式恒成立，求a的取值范圍.　　解析：設(shè)，它表示的是圓心為半徑為2的半圓（如圖所示）.　　另設(shè)，它的幾何意義是一條經(jīng)過原點(diǎn)，斜率為a的直線，將兩者圖像畫在同一坐標(biāo)系下，根據(jù)不等式的幾何意義，要使得半圓恒在直線的上方（包括相交），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才成立，所以a的取值范圍就是.　　由上可見，含參不等式恒成立問題覆蓋知識點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會和總結(jié)，解這類題才能得心應(yīng)手。