例談恒成立不等式的求解策略

《例談恒成立不等式的求解策略》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、例談含參不等式恒成立問題的求解策略含參數(shù)不等式恒成立問題是不等式中的重要題型，也是各類考試的熱點．這類問題既含參數(shù)又含變量，學生往往難以下手，怎樣處理這類問題呢？轉(zhuǎn)化是捷徑．通過轉(zhuǎn)化能使恒成立問題得到簡化，而轉(zhuǎn)化過程中往往包含著多種數(shù)學思想的綜合運用．下面就其常見類型及解題策略舉例說明．一﹑可化為一次不等式恒成立的問題例1．對于滿足的一切實數(shù)，不等式恒成立，試求的取值范圍．分析：習慣上把當作自變量，記函數(shù)，于是問題轉(zhuǎn)化為：當時，恒成立，求的取值范圍．解決這個等價的問題需要應用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當復雜的．解：設函數(shù)，顯然，則是的一次函

2、數(shù)，要使恒成立，當且僅當，且時，解得的取值范圍是．點評：本題看上去是一個不等式問題，但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化，把它化歸為關于的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關鍵是轉(zhuǎn)換變量角色．二﹑二次不等式恒成立問題例2．已知關于的不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．分析：利用二次項系數(shù)的正負和判別式求解，若二次項系數(shù)含參數(shù)時，應對參數(shù)分類討論．解：(1)當時，即或，顯然時，符合條件，不符合條件;(2)當時，由二次函數(shù)對一切實數(shù)恒為正數(shù)的充要條件，得，解得．綜合(1)(2)得，實數(shù)的取值范圍為．三﹑絕對值不等式恒成立問題例3．對于任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍

3、．分析1：把左邊看作的函數(shù)關系，就可利用函數(shù)最值求解．解法1：設，則，，．分析2：利用絕對值的幾何意義求解．解法2：設﹑﹑在數(shù)軸上對應點分別是﹑﹑，則當點在線段上時，;當點在點的左側(cè)時，;當點在點的右側(cè)時，;因此，無論點在何處，總有，所以當時，恒成立，即對于任意實數(shù)，不等式恒成立時，實數(shù)的取值范圍為．分析3：利用絕對值不等式求解的最大值．解法3：設．且時等式成立，，．四﹑含對數(shù)﹑指數(shù)﹑三角函數(shù)的不等式恒成立問題例4．當時，不等式恒成立，求的取值范圍．分析：注意到函數(shù)，都是我們熟悉的函數(shù)，運用數(shù)形結(jié)合思想，可知要使對一切，恒成立，只要在內(nèi)，的圖象在圖象的上方即可．顯

4、然，再運用函數(shù)思想將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即．解：設，，則要使對一切，恒成立，由圖象可知，并且，故有，，又點評：通過上述的等價轉(zhuǎn)化，使恒成立的解決得到了簡化，其中也包含著函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的綜合運用．此外，從圖象上直觀得到后還需考查區(qū)間右端點處的函數(shù)值的大?。?、形如“”型不等式形如“”或“”型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎是“在上恒成立，則();在上恒成立，則()”．許多復雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型．例5．已知二次函數(shù)，若時，恒有，求的取值范圍．解：，，即（1）當時，不等式顯然成立，（2）當時，由得．，，．又，，．．綜上得，

5、的取值范圍為．六、形如“”型不等式解：求導函數(shù)，可得g′（x）=1﹣，x∈[1，e]，g′（x）≥0，∴g（x）max=g（e）=e﹣1，令f'（x）=0，∵a＞0，x=±當0＜a＜1，f（x）在[1，e]上單調(diào)增，∴f（x）min=f（1）=1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2；當1≤a≤e2，f（x）在[1，]上單調(diào)減，f（x）在[，e]上單調(diào)增，∴f（x）min=f（）=≥e﹣1恒成立；當a＞e2時f（x）在[1，e]上單調(diào)減，∴f（x）min=f（e）=e+≥e﹣1恒成立綜上a≥e﹣2故答案為：[e﹣2，+∞）例6.設a＞0，函數(shù)，若對任意的x1，x2∈[1，e]

6、，都有f（x1）≥g（x2）成立，則a的取值范圍為　[e﹣2，+∞）?。摺⑿稳纭啊毙筒坏仁嚼?．在，，，這四個函數(shù)中，當時，使恒成立的函數(shù)的個數(shù)是()(A)(B)(C)(D)解：本題實質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)應是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知，符合題意，故此題選（C）．八、形如“”型不等式例8．已知函數(shù)，，若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零．令，，即在上單調(diào)遞減，是最大值．，即．九、形如“”型不等式例9．已知函數(shù)，，若對任意，都有，求的范圍．解：∵對任意，都有成立，．，令得或;得．在為增函數(shù)，在為減函數(shù)．

7、，．由上可知解含參不等式恒成立問題的基本解題思想是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題，解決的基本方法有三，一個是分離參數(shù)(當然是能夠分離作為前提)；第二是通過數(shù)形結(jié)合、以形助數(shù)布列關于參數(shù)的不等式；第三是利用導數(shù)解決(1).分離參數(shù)法:當不等式中的參數(shù)（或關于參數(shù)的代數(shù)式）能夠與其它變量完全分離出來，且分離后不等式另一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值可求時，常用分離參數(shù)法.(2).數(shù)形結(jié)合法:如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對應的圖象、圖形較易畫出時，可通過圖象、圖形的位置關系建立不等式求得參數(shù)范圍.(3)導數(shù)法:即先利用導數(shù)求出不等式一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值，然后建立關于參

8、數(shù)的不等式