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1、例談恒成立不等式的求解策略洪湖一中嚴(yán)義兵含參數(shù)不等式的恒成立問題是不等式中重要的題型,也是各類考試的熱點(diǎn).這類問題既含參數(shù)又含變量,學(xué)生往往難以下手,怎樣處理這類問題呢?轉(zhuǎn)化是捷徑.通過轉(zhuǎn)化能使恒成立問題得到簡化,而轉(zhuǎn)化過程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用.下面就其常見類型及解題策略舉例說明.一﹑可化為一次不等式恒成立的問題例.對于滿足0p4的一切實(shí)數(shù),不等式x2px4xp3恒成立,試求x的取值范圍.分析:習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量,記函數(shù)yx2(p4)x3p,于是問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)p0,4時,y0恒成立,求x的取值范圍.解決這個等價的問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理,可想
2、而知,這是相當(dāng)復(fù)雜的.解:設(shè)函數(shù)f(p)(x1)p(x24x3),顯然x1,則f(p)是p的一次函數(shù),要使f(p)0恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)f(0)0,且f(4)0時,解得x的取值范圍是(,1)(3,).點(diǎn)評:本題看上去是一個不等式問題,但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化,把它化歸為關(guān)于p的一次函數(shù),利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解,解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換變量角色.二﹑二次不等式恒成立問題例.已知關(guān)于x的不等式(m24m5)x24(m1)x30對一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析:利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式求解,若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時,應(yīng)對參數(shù)分類討論.解:()當(dāng)m24m50時,即m1或m5,顯然m1時,符合
3、條件,m5不符合條件;()當(dāng)m24m50時,由二次函數(shù)對一切實(shí)數(shù)恒為正數(shù)的充要條件,得m24m50,,解得1m19.1)212(m216(m4m5)0綜合()()得,實(shí)數(shù)m的取值范圍為1,19.三﹑絕對值不等式恒成立問題例.對于任意實(shí)數(shù)x,不等式x1x2a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:把左邊看作x的函數(shù)關(guān)系,就可利用函數(shù)最值求解.3,x1解法:設(shè)f(x)x1x2,則f(x)2x1,1x2,fmax(x)3,a3.3,x2分析:利用絕對值的幾何意義求解.解法:設(shè)x﹑1﹑2在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別是P﹑A﹑B,則x1x2PAPB當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時,3PAPB3;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時
4、,PAPB3;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時,PAPB3;因此,無論點(diǎn)P在何處,總有3PAPB3,所以當(dāng)a3時,PAPBa恒成立,即對于任意實(shí)數(shù)x,不等式x1x2a恒成立時,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3,).分析:利用絕對值不等式ababab求解f(x)x1x2的最大值.解法:設(shè)f(x)x1x2.x1x2x1x23且x2時等式成立,fmax(x)3,a3.四﹑含對數(shù)﹑指數(shù)﹑三角函數(shù)的不等式恒成立問題例.當(dāng)x(0,1)時,不等式x2logax恒成立,求a的取值范圍.2x2,g(x)分析:注意到函數(shù)f(x)logax都是我們熟悉的函數(shù),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,可知要使對一切x(0,1),f(x)g(x)
5、恒成立,只要在(0,1)內(nèi),g(x)logax的圖象在f(x)x222圖象的上方即可.顯然0a1,再運(yùn)用函數(shù)思想將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,即1g(1f()).22(0,1),f(x)解:設(shè)f(x)x2,g(x)logax,則要使對一切xg(x)恒成立,由圖象可2知0a1,并且f(1)g(1),故有l(wèi)oga11,122124a又0a1a1,1616點(diǎn)評:通過上述的等價轉(zhuǎn)化,使恒成立的解決得到了簡化,其中也包含著函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用.此外,從圖象上直觀得到0a1后還需考查區(qū)間(0,1)右端點(diǎn)x1處的函數(shù)22值的大?。濉⑿稳纭癮f(x)”型不等式形如“af(x)”或
6、“af(x)”型不等式,是恒成立問題中最基本的類型,它的理論基礎(chǔ)是“af(x)在xD上恒成立,則a[f(x)]max(xD);af(x)在xD上恒成立,則a[f(x)]min(xD)”.許多復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型.例.已知二次函數(shù)fxax2x,若x0,1時,恒有f(x)1,求a的取值范圍.()解:f(x)1,1ax2x1,即1xax21x()當(dāng)x0時,不等式1a01顯然成立,aR()當(dāng)0x1時,由1xax21x得11a11.x2xx2x11(11)210,(11)minx2xx24x2x又11(11)212,(1x2xx24x2綜上得,a的取值范圍為2a0.六、
7、形如“f(x1)f(x)f(x2)”型不等式例.已知函數(shù)f(x)2sin(x),若對任意250,a0.1)max2,a2.2a0.xxR,都有f(x1)f(x)f(x2)成立,則x1x2的最小值為.解:對任意xR,不等式f(x1)f(x)f(x2)恒成立,f(x1),f(x2)分別是f(x)的最小值和最大值.對于函數(shù)f(x)2sin(x),取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是,即半個周25期.x1x2的最小值為七、形如“f(x12x2)f(x1)f(x2)”型不等式2例.在y2x,ylo