例談恒成立不等式的求解策略.docx

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1、例談恒成立不等式的求解策略洪湖一中嚴(yán)義兵含參數(shù)不等式的恒成立問題是不等式中重要的題型，也是各類考試的熱點(diǎn)．這類問題既含參數(shù)又含變量，學(xué)生往往難以下手，怎樣處理這類問題呢？轉(zhuǎn)化是捷徑．通過轉(zhuǎn)化能使恒成立問題得到簡化，而轉(zhuǎn)化過程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用．下面就其常見類型及解題策略舉例說明．一﹑可化為一次不等式恒成立的問題例．對于滿足0p4的一切實(shí)數(shù)，不等式x2px4xp3恒成立，試求x的取值范圍．分析：習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，記函數(shù)yx2(p4)x3p，于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)p0,4時，y0恒成立，求x的取值范圍．解決這個等價的問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，可想

2、而知，這是相當(dāng)復(fù)雜的．解：設(shè)函數(shù)f(p)(x1)p(x24x3)，顯然x1，則f(p)是p的一次函數(shù)，要使f(p)0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(0)0，且f(4)0時，解得x的取值范圍是(,1)(3,)．點(diǎn)評：本題看上去是一個不等式問題，但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化，把它化歸為關(guān)于p的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換變量角色．二﹑二次不等式恒成立問題例．已知關(guān)于x的不等式(m24m5)x24(m1)x30對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．分析：利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式求解，若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時，應(yīng)對參數(shù)分類討論．解：()當(dāng)m24m50時，即m1或m5，顯然m1時，符合

3、條件，m5不符合條件;()當(dāng)m24m50時，由二次函數(shù)對一切實(shí)數(shù)恒為正數(shù)的充要條件，得m24m50,，解得1m19．1)212(m216(m4m5)0綜合()()得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為1,19．三﹑絕對值不等式恒成立問題例．對于任意實(shí)數(shù)x，不等式x1x2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．分析：把左邊看作x的函數(shù)關(guān)系，就可利用函數(shù)最值求解．3,x1解法：設(shè)f(x)x1x2，則f(x)2x1,1x2，fmax(x)3，a3．3,x2分析：利用絕對值的幾何意義求解．解法：設(shè)x﹑1﹑2在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別是P﹑A﹑B，則x1x2PAPB當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，3PAPB3;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時

4、，PAPB3;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時，PAPB3;因此，無論點(diǎn)P在何處，總有3PAPB3，所以當(dāng)a3時，PAPBa恒成立，即對于任意實(shí)數(shù)x，不等式x1x2a恒成立時，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3,)．分析：利用絕對值不等式ababab求解f(x)x1x2的最大值．解法：設(shè)f(x)x1x2．x1x2x1x23且x2時等式成立，fmax(x)3，a3．四﹑含對數(shù)﹑指數(shù)﹑三角函數(shù)的不等式恒成立問題例．當(dāng)x(0,1)時，不等式x2logax恒成立，求a的取值范圍．2x2，g(x)分析：注意到函數(shù)f(x)logax都是我們熟悉的函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可知要使對一切x(0,1)，f(x)g(x)

5、恒成立，只要在(0,1)內(nèi)，g(x)logax的圖象在f(x)x222圖象的上方即可．顯然0a1，再運(yùn)用函數(shù)思想將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即1g(1f())．22(0,1)，f(x)解：設(shè)f(x)x2，g(x)logax，則要使對一切xg(x)恒成立，由圖象可2知0a1，并且f(1)g(1)，故有l(wèi)oga11，122124a又0a1a1，1616點(diǎn)評：通過上述的等價轉(zhuǎn)化，使恒成立的解決得到了簡化，其中也包含著函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用．此外，從圖象上直觀得到0a1后還需考查區(qū)間(0,1)右端點(diǎn)x1處的函數(shù)22值的大?。濉⑿稳纭癮f(x)”型不等式形如“af(x)”或

6、“af(x)”型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎(chǔ)是“af(x)在xD上恒成立，則a[f(x)]max(xD);af(x)在xD上恒成立，則a[f(x)]min(xD)”．許多復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型．例．已知二次函數(shù)fxax2x，若x0,1時，恒有f(x)1，求a的取值范圍．()解：f(x)1，1ax2x1，即1xax21x（）當(dāng)x0時，不等式1a01顯然成立，aR（）當(dāng)0x1時，由1xax21x得11a11．x2xx2x11(11)210，(11)minx2xx24x2x又11(11)212，(1x2xx24x2綜上得，a的取值范圍為2a0．六、

7、形如“f(x1)f(x)f(x2)”型不等式例．已知函數(shù)f(x)2sin(x)，若對任意250，a0．1)max2，a2．2a0．xxR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，則x1x2的最小值為．解：對任意xR，不等式f(x1)f(x)f(x2)恒成立，f(x1)，f(x2)分別是f(x)的最小值和最大值．對于函數(shù)f(x)2sin(x)，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是，即半個周25期．x1x2的最小值為七、形如“f(x12x2)f(x1)f(x2)”型不等式2例．在y2x，ylo