代數(shù)免疫度最優(yōu)的旋轉(zhuǎn)對稱布爾函數(shù)的構(gòu)造

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1、第３４卷第２期國防科技大學(xué)學(xué)報(bào)Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．２２０１２年４月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＡＴＩＯＮＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＤＥＦＥＮＳＥＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＡｐｒ．２０１２代數(shù)免疫度最優(yōu)的旋轉(zhuǎn)對稱布爾函數(shù)的構(gòu)造１，２１２李超，薛朝紅，付紹靜（１．國防科技大學(xué)理學(xué)院，湖南長沙４１００７３；２．國防科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，湖南長沙４１００７３）摘要：代數(shù)免疫度是布爾函數(shù)的一個重要密碼學(xué)指標(biāo)，為了抵擋代數(shù)攻擊，密碼算法中所使用的布爾函數(shù)應(yīng)當(dāng)具有較高的代數(shù)免疫度。本文利用“軌道交換”技術(shù)，給出了一類具有最優(yōu)代數(shù)免疫度的旋轉(zhuǎn)對稱布爾函數(shù)的構(gòu)造，該類函數(shù)對于代數(shù)攻擊具有較強(qiáng)的抵抗能力，同時具有較高的

2、非線性度和最優(yōu)代數(shù)次數(shù)。關(guān)鍵詞：代數(shù)免疫度；旋轉(zhuǎn)對稱；非線性度；代數(shù)次數(shù)中圖分類號：ＴＮ９１８１文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ文章編號：１００１－２４８６（２０１２）０２－００３４－０５ＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｒｏｔａｔｉｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃＢｏｏｌｅａｎｆｕｎｃｔｉｏｎｗｉｔｈｍａｘｉｍｕｍａｌｇｅｂｒａｉｃｉｍｍｕｎｉｔｙ１，２１２ＬＩＣｈａｏ，ＸＵＥＣｈａｏｈｏｎｇ，ＦＵＳｈａｏｊｉｎｇ（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＮａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ４１００７３，Ｃｈｉｎａ；２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ，Ｎａｔ

3、ｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ４１００７３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｌｇｅｂｒａｉｃＩｍｍｕｎｉｔｙｈａｓｂｅｅｎｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄａｓｏｎｅｏｆｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｆｏｒＢｏｏｌｅａｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｒｅｓｉｓｔａｌｇｅｂｒａｉｃａｔｔａｃｋ，ｈｉｇｈａｌｇｅｂｒａｉｃｉｍｍｕｎｉｔｙｉｓｎｅｃｅｓｓａｒｙｆｏｒｔｈｏｓｅＢｏｏｌｅａｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｕｓｅｄｉｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃｃｉｐｈｅｒａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｂａｓｅｄｏｎ“ｏｒｂｉｔｅｘｃｈ

4、ａｎｇｅ”ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｔｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｐｒｅｓｅｎｔｓａｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｒｏｔａｔｉｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃＢｏｏｌｅａｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｈｅｍａｘｉｍｕｍａｌｇｅｂｒａｉｃｉｍｍｕｎｉｔｙｏｎｅｖｅｎｎｕｍｂｅｒｏｆｖａｒｉａｂｌｅｓ．Ｔｈｅｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｈａｖｅｓｔｒｏｎｇｒｅｓｉｓｔａｎｃｅａｇａｉｎｓｔａｌｇｅｂｒａｉｃａｔｔａｃｋｓ．Ｔｈｅｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｌｓｏｈａｖｅｍｕｃｈｂｅｔｔｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙａｎｄｏｐｔｉｍａｌａｌｇｅｂｒａｉｃｄｅｇｒｅｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｍｍｕｎｉｔｙ；ｒｏｔ

5、ａｔｉｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ；ａｌｇｅｂｒａｉｃｄｅｇｒｅｅ代數(shù)攻擊的提出和發(fā)展被認(rèn)為是近年來密碼ｘｉ＋ｋ，如果ｉ＋ｋ≤ｎ，ｋρｎ（ｘｉ）＝{分析技術(shù)最重要的突破之一，代數(shù)免疫度也成為ｘ，其他．ｉ＋ｋ－ｎ衡量密碼函數(shù)安全性的一個重要指標(biāo)，如何構(gòu)造ｋｎρｎ的定義可以推廣到向量ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）∈Ｆ２代數(shù)免疫度最優(yōu)的函數(shù)（簡稱ＭＡＩ函數(shù)）已經(jīng)成ｋｋｋｋ［１－９］上，ρｎ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝（ρｎ（ｘ１），ρｎ（ｘ２），…，ρｎ為近年來研究的一個重點(diǎn)問題。旋轉(zhuǎn)對稱布（ｘｎ））．爾函數(shù)（簡稱ＲｏｔＳ函數(shù)）由于其良好的結(jié)構(gòu)特性，在密碼學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，

6、因而構(gòu)造代數(shù)免疫定義１如果對于任意的ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）ｎ度最優(yōu)且具有其他良好密碼學(xué)性質(zhì)的ＲｏｔＳ函數(shù)∈Ｆ２，以及０≤ｋ≤ｎ－１，都有ｋ具有重要意義。文獻(xiàn)［１０］給出了一種代數(shù)免疫ｆ（ρｎ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ））＝ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）度最優(yōu)的ＲｏｔＳ函數(shù)的構(gòu)造方法，本文利用“軌道則稱ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）為旋轉(zhuǎn)對稱布爾函數(shù)。交換”技術(shù)，構(gòu)造了一類代數(shù)免疫度最優(yōu)的ＲｏｔＳ記Ｇ（ｘ，ｘ，…，ｘ）＝｛ρｋ（ｘ，ｘ，…，ｘ）ｎ１２ｎｎ１２ｎ函數(shù)，并給出了所構(gòu)造函數(shù)的非線性度下界，與文０≤ｋ≤ｎ－１}，即（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）在ρｎ作用下的獻(xiàn)［１０］中結(jié)果相比，構(gòu)造函數(shù)的非

7、線性度得到了ｎ軌道。顯然Ｆ２中的所有向量被分為不同的軌道，一定提升，同時代數(shù)次數(shù)達(dá)到最優(yōu)。如果Ｇｎ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ｔ，稱Ｇｎ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）１預(yù)備知識是一個ｔ－軌道，容易驗(yàn)證ｔ是ｎ的一個因子。對于ｘｉ∈Ｆ２（１≤ｉ≤ｎ），以及０≤ｋ≤ｎ－１，記ｘ珋＝（ｘ１＋１，ｘ２＋１，…，ｘｎ＋１），易知Ｇｎ（ｘ珋）定義＝Ｇｎ（ｘ），Ｇｎ（ｘ）稱為軌道Ｇｎ（ｘ）的共軛軌道。如果Ｇｎ（ｘ）＝Ｇｎ（ｘ珋），則稱Ｇｎ（ｘ）為自共軛軌道。收稿日期