應(yīng)力集中圓孔附近的形變場(chǎng)

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1、應(yīng)力集中圓孔附近的形變場(chǎng)1劉述倫,薛江紅(暨南大學(xué)理工學(xué)院，廣東廣州510632)［摘要］具小圓孔薄板受均勻拉伸荷載的作用為彈性力學(xué)第一類邊值問題，此類問題由于給定的是面力邊界條件，因而位移解不是唯一的。本文依據(jù)幾何參數(shù)和荷載條件的對(duì)稱性，采用形變對(duì)稱性，獲得了圓孔附近的形變場(chǎng)的解析解。算例分析和有限元分析表明變形之后的圓孔為一橢圓形，且在遠(yuǎn)離圓孔處，回歸到無圓孔時(shí)單向拉伸的位移解。結(jié)果顯示解析解和有限元解非常一致。［關(guān)鍵詞］圓孔應(yīng)力集中；邊值問題；位移場(chǎng)；有限元分析［中圖分類號(hào)］O343.1?1.引言具小圓孔的彈性體在受外載時(shí)會(huì)在孔邊出現(xiàn)應(yīng)力集

2、中的現(xiàn)象?？走厬?yīng)力集中是局部現(xiàn)象，在幾倍孔徑以外的距離處，應(yīng)力的大小幾乎不受孔的影響，其分布情況幾乎與無孔時(shí)相同。具小圓孔的等截面薄板受均勻拉伸為給定面力邊界條件的第一圖1類邊值問題，該類問題的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量是唯一確定的，但在對(duì)幾何方程積分時(shí)，允許位移項(xiàng)存在一個(gè)差項(xiàng)，因而其位ìq?a2?q?a2??a?2?移解不是唯一的。本文運(yùn)用柯西方程，并?sr=?1-2÷+?1-2÷?1-32÷cos2?j?2èr?2?èr?èr?采用對(duì)稱條件，消除剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)24?q?a?q?a??的影響，獲得了板內(nèi)的位移分布情況。進(jìn)ísj=?1+2÷-?1+3

3、4÷cos2?j?2èr?2?èr?一步的算例分析和有限元分析表明孔邊附22?q?a??a?近位移場(chǎng)的解析解和有限元解非常接近。t=-?1-÷?1+3÷sin2?j?rj22?2èr?èr?2.圓孔孔邊的應(yīng)力（1）平面問題極坐標(biāo)下的物理方程（平面應(yīng)力考慮一等截面矩形薄板在板的正中央問題）為：有半徑為a?的小圓孔，在左右兩邊受均布ì1??er=(sr-msj)拉力q?的作用。取坐標(biāo)原點(diǎn)為圓孔的中E??1?心，坐標(biāo)軸平行于邊界，如圖1所示。應(yīng)íej=(sj-msr)（2）?E力分量在距離原點(diǎn)為r，角度為j位置處的2(1+m)[1，2.3]?g=t表達(dá)

4、式為：??rjrjE平面問題極坐標(biāo)下的幾何方程為：［收稿日期］2011-03-23［作者簡(jiǎn)介］劉述倫（1988-），男，碩士研究生，研究方向：復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)1?ì?u?當(dāng)r>>a時(shí)，運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，即r?e=r可獲得在遠(yuǎn)離孔邊彈性薄板內(nèi)的位移分?r??1??uju?r布：íe=+（3）j?r?jrìq??1?ur?ujuj?u=xgrj=+-íE（7）??r?j?rr?v=-q?my?E將方程（1）帶入（2），之后帶入（3）并該結(jié)果與無圓孔時(shí)單向拉伸的位移解完全積分，得到位移場(chǎng)的通解一致。將公式（6）中的角度j換為j+90°ìé2qa??u?

5、r=ê(1-m)r+(1+m)+(1+m)rcos2?j就能得到受Y軸方向拉力矩形板的位移分?2?E?r量表達(dá)式。24?aa?ù+4cos2j-(1+m)cos2jú+Asinj+Bcosj?3?rr?í3.算例及有限元分析2qéa??u?j=ê-(1+m)rsin2j-2(1-m)sin2?j?2E?r考慮一彈性薄板，其彈性模量?a?4ù?-(1+m)sin2jú-Acosj+Bsinj+CrE=200GPa?，泊松比m=0.3，板的大小為3??r?5m′3?m，板厚為2?mm，拉力大小為（4）q=1000MPa?，受力方向?yàn)殚L(zhǎng)軸方向。圓孔方程

6、（4）中有三個(gè)未定系數(shù)，代表著剛體位于板正中央，半徑為a=0.?05?m。圖2為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)位移分量的影響。由圖1可根據(jù)公式（6）計(jì)算的圓孔受力后的變形情見，本問題為給定面力邊界條件的第一類況。圖3為有限元模擬的位移場(chǎng)的分布情邊值問題，位移邊界條件并沒有直接給況。從兩個(gè)圖形的比較中可以看出，圓孔出。但由于結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和載荷條件的對(duì)由原來的圓形變成了橢圓形。此外，由圖稱性，可認(rèn)定位移場(chǎng)也具有對(duì)稱性，即：3可見，在薄板受力的長(zhǎng)軸兩端變形最j=0,p,p,?3?p時(shí)，u=0；（5）大，這與公式（7）給出的結(jié)果完全一致。j22將（4）式帶入（5）式，有A

7、=0,B=0,和C=0。由（4）式有板內(nèi)位移場(chǎng)的分布為：ìé2qa??u?r=ê(1-m)r+(1+m)+(1+m)rcos2?j?2?E?r24?aa?ù+4cos2j-(1+m)cos2?jú?3?rr?í2qéa??u?j=ê-(1+m)rsin2j-2(1-m)sin2?j?2?E?r?a4ù?-(1+m)sin2jú3??r?（6）圖22?兩端均勻拉伸荷載的作用，根據(jù)幾何參數(shù)和載荷的對(duì)稱性，采用位移對(duì)稱性，消除了剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，獲得了薄板內(nèi)的位移分布。算例分析和有限元分析表明，圓孔受力之后變形為一橢圓形，且在遠(yuǎn)離圓孔處，回歸到

8、單向拉伸的位移分布。［參考文獻(xiàn)］［1］徐芝綸.彈性力學(xué)(上冊(cè))[M].第四版.北京;高等教育出版社,2006.［2］楊桂通.彈性力學(xué)[M