公式化解決一次同余方程和一次不定方程的探索

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1、公式化解決一次同余方程和一次不定方程的探索公式化解決一次同余方程和一次不定方程的探索孫梁（凱里市教育局貴州凱里556000）【摘要】運用余數方程周期表的自變律和周變性質，對首項余數進行模運算再轉化。簡明扼要地推算任意兩個不等的正整數的最大公約數和余數方程的整數解。運算過程緊湊嚴密，環(huán)環(huán)相扣，一氣呵成。比較傳統(tǒng)的方法，顯得更為簡明，快速直接，不拖泥帶水，容易記憶，使用方便，是一次同余方程和二元一次不定方程解法公式化的一次有效探索。【關鍵詞】余數方程；周期表；自變律；公式化【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文

2、章編號】1009-9646（2009）03-0010-03一次同余方程ax≡c（modb）（a>b>O的整數，c為整數）或二元一次不定方程的解法在初等數論中多采用輾轉相除得到a、b的最大公約數后再反向代入最大公約數的表達式［1、2］,或者將不定方程（或余數方程）未知數的系數（或模），用輾轉相除法轉化為一個比一個絕對值更小的不定方程（或余數方程），再一步步反向推導回原方程獲得結果［3］。木工作用余數周期表原理⑷，推導的余數自變定理（1）、（2）用模運算再轉化的方法，將余數方程未知系數轉化到絕對

3、值是a、b最大公約數的子余數，組建余數子方程來討論，因為這個子余數是周期表中絕對值最小余數（0除外）由其組建的余數子方程的問題會得到充分的、自然的暴露迎刃而解。乂因為余數子方程與它的母方程有著十分密切的關系，子方程有無整數解代表了母方程有無整數解；子方程整數解的解數代表了母方程整數解的解數；了方程中的了余數在周期表中的項數與余數了方程整數解（px）的乘積代表了母方程的整數解。解決了余數子方程的問題，實際上就解決了母方程的全部問題。這樣，自變余數模運算再轉化，把求解一次同余方程和二元一次不定方程的問題，簡化到象解普通

4、一元代數方程那樣簡單、快捷、干凈利落，走向了公式化，條理化的道路。為一次同余方程和二元一次不定方程的求解，提出了一套全新的解決解決模式。1.余數自變規(guī)律的有關定義、概念、名詞、術語的解釋定義1余數的自變：余數方程ax≡c（modb）周期表中任一項余數cn若在xn項，則余數cn每過xn項，余數遞增cn。這種變化以余數的自身數值和所在項數為變化質，以模b為周期，周而復始，無限循環(huán)。這種變化規(guī)律稱為余數的自變。余數的自變律主要用來推算自變后的余數所落在的項數（即整數解），如cn在xn項，cn連續(xù)遞增p次，則p

5、en在pxn項。基本余數：周期表中任一余數cn若滿足O<IcnI≤b這個條件，則這個余數叫周期表中的基本余數。周期表中有b個基本正余數和b個基本負余數?；居鄶导由匣驕p去模b的倍數，基本余數仍在其中（項數不變），周期表中任一余數，不論其絕對值有多人，都可以通過加上或減去模b的倍數，還原成它的基本余數?；卷棓担褐芷诒碇腥我豁棓抵祒n滿足0&t;IxnI≤b這個條件。這個項數叫基本項數。周期表中，從上往下看（或從左往右）的項數看作正項數（正整數解），從下往上看（或從右往左）的項數可看作負項數（負整數

6、解），周期表中的任一周期項數，不論其項數絕對值有多大，都可通過加上或減去模b的倍數，還原成它的基本項數或者還原成絕對值最小整數解。首項余數：周期表中的第一項余數，用cn表示。由余數方程未知數系數模變而得，可表示為a≡cO（modb）（O<cO&It;b2）余數的自變環(huán)節(jié)：一個自變余數的模運算轉化過程叫這個余數的一個自變環(huán)節(jié)。余數方程a≡cO（modb）周期表中，任一余數cn連續(xù)自變p次，當pen絕對值最逼近btl寸，就周變（模變）一次，產生一個新的絕對值更小的余數cn+lo這就是自變余

7、數的一個模運算過程。方法是用cn除b得一帶小數的商，設帶小數商的整數部分為若小數部分大于5,取商的整數值為p=m+l,若小數部分小于5,取商的整數值p二這樣得到的余數都是這一變化環(huán)節(jié)絕對值最小余數，余數的一個自變環(huán)節(jié)用下面余數式表達：cnp≡cn+l(modb)(0&It;cn+l<cn2)首項余數第一自變環(huán)節(jié)及其推論：余數方程周期表首項余數的模運算轉化過程叫首項余數的第一自變環(huán)節(jié)，第一自變環(huán)節(jié)產生的子余數叫一階子余數，由一階子余數組建的余數子方程叫一階余數子方程。按此類推，首項余數第n個自變環(huán)節(jié)

8、產生的子余數叫n階子余數，n階子余數組建的余數子方程叫n階余數子方程。歸零還原的子余數：首項余數模運算轉化的最后一個自變環(huán)節(jié)，是自變余數歸零還原。所謂“歸零”就是轉化為零，“還原”就是冋到“模b”這個余數(因為模b和0在同一項)。若設歸零還原的子余數是cn,如果cOIa,則丨cnI就是a、b的最大公約數。如果cn除不盡a,要選擇cO為標準，增加一個輔助自變式