灰色預測模型理論及其應用

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1、灰色預測模型理論及其應用灰色系統(tǒng)理論認為對既含有已知信息乂含有未知或非確定信息的系統(tǒng)進行預測，就是對在一定方位內(nèi)變化的、與吋間有關(guān)的灰色過程的預測.盡管過程屮所顯示的現(xiàn)象是隨機的、雜亂無章的，但畢竟是有序的、冇界的，因此這i數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律，灰色預測就是利用這種規(guī)律建立灰色模型對灰色系統(tǒng)進行預測.灰色預測模型只需要較少的觀測數(shù)據(jù)即可，這和時間序列分析，多元冋歸分析等需要較多數(shù)據(jù)的統(tǒng)計模型不一樣.因此，對于只有少量觀測數(shù)據(jù)的項口來說，灰色預測是一種冇用的工具?本文主要圍繞灰色預測GM(1,1)模型及其應用進行展開。一、灰色系統(tǒng)及灰色預測的概念1.1灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)產(chǎn)生于

2、控制理論的研究中。若一個系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是充足完全的，我們稱Z為白色系統(tǒng)。若一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息是一無所知，一團漆黑，只能從它同外部的聯(lián)系來觀測研究，這種系統(tǒng)便是黑色系統(tǒng)。灰色系統(tǒng)介于二者Z間，灰色系統(tǒng)的一部分信息是已知的，一部分是未知的。區(qū)別白色和灰色系統(tǒng)的重要標志是系統(tǒng)各因素間是否有確定的關(guān)系。特點：灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定型系統(tǒng)的研究對象。1.2灰色預測灰色系統(tǒng)分析方法是通過鑒別系統(tǒng)因索Z間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，即進行關(guān)聯(lián)度分析，并通過對原始數(shù)據(jù)的生成處理來尋求系統(tǒng)變動的規(guī)律。生成數(shù)據(jù)序列有較

3、強的規(guī)律性,可以用它來建立和應的微分方程模型，從而預測事物未來的發(fā)展趨勢和未來狀態(tài)?；疑A測是用灰色模型GM(1,1)來進行定量分析的，通常分為以下幾類：(1)灰色時間序列預測。用等時距觀測到的反映預測對象特征的一系列數(shù)量(如產(chǎn)量、銷量、人口數(shù)量、存款數(shù)量、利率等)構(gòu)造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或者達到某特征量的時間。(2)畸變預測(災變預測)。通過模型預測異常值出現(xiàn)的時刻，預測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。(3)波形預測，或稱為拓撲預測，它是通過灰色模型預測事物未來變動的軌跡。(4)系統(tǒng)預測，是對系統(tǒng)行為特征指標建立一族相互關(guān)聯(lián)的灰色預測理論模型，在預測系

4、統(tǒng)整體變化的同時，預測系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的變化。上述灰預測方法的共同特點是：(1)允許少數(shù)據(jù)預測；(2)允許對灰因果律事件進行預測，比如灰因白果律事件：在糧食生產(chǎn)預測中，影響糧食生產(chǎn)的因子很多，多到無法枚舉，故為灰因，然而糧食產(chǎn)量卻是具體的，故為白果。糧食預測即為灰因白果律事件預測。白因灰果律事件：在開發(fā)項目前景預測時，開發(fā)項目的投入是具體的，為白因，而項目的效益暫時不很清楚，為灰果。項冃前景預測即為灰因白果律事件預測。(3)具有可檢驗性，包括：建?？尚行缘募壉葯z驗(事前檢驗)，建模精度檢驗(模型檢驗)，預測的滾動檢驗(預測檢驗)。二、GM(lzl)模型2.1GM(1,1)模型G

5、M(1,1)模型是基于灰色系統(tǒng)的理論思想，將離散變量連續(xù)化，用微分方程代替差分方程，按時間累加后所形成的新的時間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來逼近，用生成數(shù)序列代替原始吋間序列，弱化原始吋間序列的隨機性，這樣可以對變化過程作較長時間的描述，進而建立微分方程形式的模型.?其建模的實質(zhì)是建立微分方程的系數(shù)，將時間序列轉(zhuǎn)化為微分方程，通過灰色微分方程可以建立抽象系統(tǒng)的發(fā)展模型.經(jīng)證明，經(jīng)一階線性微分方程的解逼近所揭示的原始時間數(shù)列呈指數(shù)變化規(guī)律時，灰色預測GM(1,1)模型的預測將是非常成功的.2.2GM(1,1)模型的建立GM(1,1)模型是指一階，一個變雖的微分方案

6、預測模型，是一階單序列的線性動態(tài)模型，用于吋間序列預測的離散形式的微分方程模型.模型符號含義為GM(1,1)ttttGreyMode11階方程1個變量設時間序列X(°)有個觀察值，X(0>={x(0)(1),x(0)(2),---,x(0)(h)},為了使其成為有規(guī)律的時間序列數(shù)據(jù)，對其作一次累加生成運算，即令從而得到新的生成數(shù)列X⑴，X⑴彳兀⑴⑴,丿)(2),稱兀⑼伙)+祇⑴伙)=b為GM(1,1)模型的原始形式。新的生成數(shù)列X⑴-?般近似地服從指數(shù)規(guī)律.則生成的離散形式的微分方程具體的形式為dxax=udt即表示變量對于時間的一階微分方程是連續(xù)的.求解上述微分方程，解為

7、a當21時,X(C=x(l),即c=x(l)--，則可根據(jù)上述公式得到離散形式微分方程的具體a形式為兀⑴/、41)--Ia)z/r其屮，祇項中的尢為一的背景值，也稱初始值；a,比是待識別的灰色參數(shù)，Q為發(fā)展系dt數(shù)，反映兀的發(fā)展趨勢；U為灰色作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系.按片化導數(shù)定義冇dxx(r+Q^)-x(r)—=limdtdeDr顯然，當時間密化值定義為1時，當口/Tl時，則上式可記為dx—=lim(x(r+□/)—%(/))dtmez/y這表明加是-次累減生成的，因此該式可以改寫為—=x(1)(r+l)-x