計(jì)算周期解地?cái)?shù)值方法

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1、第16卷第4期計(jì)算物理Vol.16,No.41999年7月CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIONALPHYSICSJul.,19993計(jì)算周期解的數(shù)值方法張鎖春(中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,北京100080)摘要比較系統(tǒng)地?cái)⑹鲇?jì)算常微分方程自治系統(tǒng)周期解的數(shù)值方法,重點(diǎn)介紹方法或算法的原始構(gòu)想和過程。關(guān)鍵詞常微分方程自治系統(tǒng)周期解數(shù)值方法中圖分類號(hào)O2410引言周期振蕩現(xiàn)象在自然界普遍存在著,在物理、化學(xué)、生物、電子學(xué)和工程技術(shù)等問題中經(jīng)常遇到,在數(shù)學(xué)中求解微分方程的周期解是一個(gè)古老而又困難的問題。著名的希爾伯特(Hi

2、lbert)第16問題就是有關(guān)微分方程周期解存在性的判定問題,至今進(jìn)展甚少,可見難度之大。由于計(jì)算機(jī)的普及和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展,人們的研究思路和方法已發(fā)生改變,往往是先計(jì)算后分析。從計(jì)算所繪的圖象中觀察到有周期解的存在,然后再從理論上給予嚴(yán)格的證明。一[1]些來自實(shí)際問題的研究,如生物化學(xué)中的布魯塞爾振子(Brusselator)、著名的Belousov2[2]Zhabotinskii化學(xué)反應(yīng)中產(chǎn)生的俄勒岡振子(Oregonator)等,人們的興趣不在于周期解存在性的理論證明,更多地是關(guān)心周期解的位置、形狀及周期的大小。近十多年來發(fā)展迅

3、速的非線性現(xiàn)象的研究中,與耗散結(jié)構(gòu)、Hopf分歧和混沌等有關(guān)的問題,常常需要數(shù)值地計(jì)算周期軌線。這就意味著在理論分析先天不足的條件下,還要在計(jì)算機(jī)上數(shù)值地計(jì)算出周期解。于是計(jì)算方法的研究極為重要。1難點(diǎn)數(shù)學(xué)上求微分方程周期解和周期的問題可歸結(jié)為求解下列的數(shù)學(xué)問題:尋找{u(t),T},使得du(t)=A(u(t))dt(1)u(t)=u(t+T)n成立。其中u(t)是R中的實(shí)值向量函數(shù),t是時(shí)間變量,A(·)是一個(gè)非線性算子,T是最小正周期。顯然,系統(tǒng)(1)是常微分方程自治系統(tǒng),因?yàn)锳(·)中不明顯含有t.更一般情形,收稿日期:19

4、98204203;修回日期:19992022023國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(#19671089)張鎖春男59研究員博導(dǎo)北京2734信箱100088338計(jì)算物理第16卷A(·)可以是非線性橢圓算子,則(1)是表示非線性拋物型偏微分方程組。特別感興趣的是如下的反應(yīng)—擴(kuò)散方程形式5ui=DiΔui+fi(u1,?,um),1≤i≤m,Ω×(0,T)5t在邊界5Ω上受某種邊界條件限制。這類方程的時(shí)空周期解的構(gòu)造可見文[3,4].注1若u是A(u)=0的解,則對所有的T>0,u亦是(1)的解,即為平衡態(tài)解。注2若{u,T}是(1)的解,則令

5、uτ(t)=u(t+τ),Pτ,則{uτ,T}也是(1)的解,即自治系統(tǒng)的解具有平移不變性。注3若{u,T}是(1)的解,則Pn>0,n為整數(shù),{u,nT}也是(1)的解。為此,利用t/T作為新的時(shí)間變量,u(t)=u(t+1),或更簡單形式u(0)=u(1),此時(shí)(1)中原方程變?yōu)閐u/dt=TA(u),系統(tǒng)(1)變成一個(gè)含有單參數(shù)族的邊值問題或看作具有非分離邊界條件的非線性特征值問題。假定在Hilbert空間中來考慮,則數(shù)學(xué)問題(1)可敘述為:尋找{u(t),T},T>0,u(t)∈V

6、];H),滿足du(t)=TA(u(t))dt(2)u(0)=u(1)如何數(shù)值地求解出問題(2)的周期解和周期呢?這正是本文要回答的問題。其前題當(dāng)然要假定問題(2)已存在唯一甚至是穩(wěn)定的周期解,專門探討如何在計(jì)算機(jī)上數(shù)值地計(jì)算出的方法。這個(gè)問題的難點(diǎn)在于事先并不知道其周期的大小,只能在數(shù)值地計(jì)算出周期解的同時(shí)才能確定其周期的大小。換言之,用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是要求的未知數(shù)個(gè)數(shù)要比已知的方程個(gè)數(shù)少。也正因?yàn)檫@種不相容性引導(dǎo)出多種方法的研究。大致可分為兩類:一類是暫時(shí)固定一個(gè)未知量,減少變量個(gè)數(shù);另一類是擴(kuò)大定義范圍,增加方程個(gè)數(shù)。注4若

7、求(2)的不穩(wěn)定周期解,僅需在算子A的前面加一個(gè)負(fù)號(hào),即用逆時(shí)間來積分原方程。注5若A是線性算子,{u,T}是(2)的解,則Pλ∈R,{λu,T}也是(2)的解。注6若A中顯含時(shí)間t,即為n階非自治系統(tǒng),則令θ=t/T,原n階非自治系統(tǒng)就可變?yōu)閐u=TA(u,θT)dt(3)dθ1=dtT(n+1)階自治系統(tǒng),故非自治系統(tǒng)不再單獨(dú)研究。2計(jì)算方法方法1最笨拙的方法是直接利用求解常微分方程初值問題的任何一種數(shù)值積分方法,如最簡單的是Euler折線法,從任何一個(gè)不是平衡點(diǎn)的初值出發(fā),一個(gè)時(shí)間步長接著一個(gè)時(shí)間步長地往前計(jì)算,若能在屏幕上動(dòng)

8、態(tài)顯示每一步的計(jì)算結(jié)果為最好。一旦發(fā)現(xiàn)周期軌線出現(xiàn)時(shí),就輸出其計(jì)算結(jié)果,仔細(xì)觀察其數(shù)值大小。近似相等的數(shù)值重復(fù)地出現(xiàn)時(shí),就可以確定出周期解和周期的大小。這種做法顯然帶有一定的盲目性,會(huì)造成計(jì)算時(shí)間的浪費(fèi),還需要一定的人工干預(yù)。雖然笨拙