ces-向量微分形式

《ces-向量微分形式》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。

1、該部分內(nèi)容取自：http://166.111.92.10/jpkcgc/aao_53/index.jsp5-7微分形式介紹(一)微分形式問題的提出我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過四個(gè)微積分的重要公式:Newton-Leibniz公式Green公式,Gauss公式和Stokes公式它們都反映了類似的規(guī)律：函數(shù)(或者向量函數(shù))的“微分”在區(qū)域上的“積分”,可以用函數(shù)(或者向量函數(shù))在該區(qū)域邊界上的“積分”來表示。當(dāng)然，這里的微分與積分，都是有特定定義的，因而我們加上了引號。既然四個(gè)公式反映了類似規(guī)律，那么能否將這四個(gè)公式統(tǒng)一起來?解決這些問題需要引進(jìn)“微分形式”這一工具.系統(tǒng)地

2、討論微分形式需要較深的代數(shù)和拓?fù)渲R.所以這里我們只是在的范圍中以盡可能通俗的方式敘述微分形式的積分,并且特別注意聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識.(二)流形及其定向在三維空間中,我們給曲線、曲面和區(qū)域一個(gè)統(tǒng)一的名稱：“流形”.“一維流形”指滿足一定條件的曲線(包括直線);“二維流形”指滿足一定條件的曲面(包括平面);“三維流形”指中滿足一定條件的區(qū)域.流形都是有向的.其定義是前面關(guān)于曲線、曲面和區(qū)域定向的一般化。(1)對于曲線.設(shè)曲線有參數(shù)方程:,其中三個(gè)函數(shù)都是連續(xù)可微的,并且滿足條件在這個(gè)條件下,曲線在其上每個(gè)點(diǎn)都有非零的切向量.規(guī)定就是曲線在這點(diǎn)處切線的正方向,

3、或者說確定為曲線的正向；這就意味著：參數(shù)增加方向確定了曲線正方向。這時(shí)，弧微分向量:(2)對于曲面,設(shè)有向曲面有參數(shù)方程,其中三個(gè)函數(shù)都是連續(xù)可微的,并且滿足條件則曲面在其上每點(diǎn)都有單位法向量其中今規(guī)定是的正向法向量,或者說確定為曲面的正向；這就意味著：參數(shù)增加方向確定了曲島正方向。這時(shí)，曲面的面微分向量:===其中這里,記:,,記號表作“外積”.(3)對于空間區(qū)域，我們也由變換的參數(shù)方程,定向：其體微分是一個(gè)有正負(fù)的標(biāo)量：=(三)微分形式及其外積(I)微分形式設(shè)有函數(shù)：,向量函數(shù)：,l在一維流形:,上有零次和一次微分形式:(1)一維流形零次微分形式就是上

4、的可微函數(shù).稱函數(shù)在上可微,是指的函數(shù)在上可微.(2)一維流形上有三個(gè)基本的一次微分形式,.而上的一次微分形式的一般形狀是給定曲線參數(shù)方程后,由確定。其中都是上的可微函數(shù).l二維流形:,上有零次,一次和二次微形式.(1)零次和一次微分形式與一維流形上類似，只是此時(shí)相應(yīng)的函數(shù)取在二維流形上?？晌⒁彩侵赶鄳?yīng)函數(shù)在上作為的函數(shù),在相應(yīng)區(qū)域可微.(2)二維流形上有三個(gè)基本的二次微分形式:,,錯(cuò)誤！未定義書簽。上二次微分形式的一般形狀為其中都是上的可微函數(shù).l空間區(qū)域,,有零次、一次、二次和三次微分形式.其中零到二次微分形式與上述定義類似.基本的三次微分形式為.它的

5、值等于.三次微分形式的一般形狀是.其中是給定域上的可微函數(shù).(I)外積微分形式的外積“”是一種滿足如下性質(zhì)的代數(shù)運(yùn)算：設(shè)是任意的三個(gè)微分形式：(i)結(jié)合律成立，即(ii)分配律成立，即,;(iii)反稱性：對基本的一次微分形式有:,,,,,。由二次微分形式的定義,反稱性是顯然的:在二維流形上,一次微分形式的外積為對于任意兩個(gè)一次微分形式由分配律得到=++==-(四)外微分運(yùn)算對微分形式我們定義一種微分運(yùn)算,稱為外微分.微分形式的外微分記作.對于零次微分形式(即可微函數(shù)),其外微分就是通常的全微分對于一,二,三次微分形式的外微分定義是,保持與等不動,只對于微

6、分形式的系數(shù)(即函數(shù))等進(jìn)行外微分運(yùn)算.例如例1:設(shè),則例2:設(shè)則由上三式可以看出以下幾點(diǎn):1.零次微分形式(即可微函數(shù))的外微分即通常的全微分,在與函數(shù)的梯度運(yùn)算相當(dāng);2.一次微分形式的外微分在與向量場的旋度運(yùn)算相當(dāng).3.二次微分形式的的外微分與向量場的散度運(yùn)算相當(dāng).如果微分形式滿足,則稱是一個(gè)恰當(dāng)微分形式.定理:1.設(shè)微分形式的系數(shù)二階連續(xù)可微,則有.2.在一定條件下(例如為星形區(qū)域),設(shè)是上的一個(gè)次恰當(dāng)微分形式,則存在一個(gè)次微分形式,使得.這個(gè)定理的前半部分可以直接驗(yàn)證：比如，l設(shè),則,=0l若則對于定理的第二部實(shí)際上在講積分與路徑無關(guān)時(shí)己有結(jié)論：l

7、對于一次微分形式,若有,即,這相當(dāng)于向量場的旋度為零，即是無旋場,因而有勢函數(shù),這是零次微分形式,使得l對于二次微分形式若有,即=這對應(yīng)于向量場散度為零,即這是一個(gè)無源場，前面提到，它一定是一個(gè)旋度場，即有向量場使得,而旋度運(yùn)算相當(dāng)于一次形式的外微分，即.l對于三次微分形式,總有,即只要選擇,使得,就有：==就有(五)多變量積分的基本公式--Stokes公式(I)微分形式在流形上的積分l設(shè)是中的一維流形,一次微分形式，它在上的積分為這恰好是向量場沿有向曲線的第二型積分,曲線的方向由其參數(shù)方程給定.l設(shè)為二維流形,是二次微分形式，它在上的積分正是向量場沿有向

8、曲面第二型積分,曲面方向已經(jīng)由的參數(shù)方程給定。l設(shè)是三維流形(即區(qū)