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1、第八節(jié)微分形式的外微分一微分形式及其外積我們知道,一個可微函數(shù)的全微分為.它是的線性組合,一個很自然的想法是將看作一個線性空間的基.設(shè)是上的區(qū)域,記,()為上連續(xù)可微函數(shù)全體.將看作一組基,其線性組合稱為一次微分形式,簡稱1-形式.1-形式的全體記為(或).如果對中的元素定義加法、數(shù)乘、零元和負(fù)元等,就可以使成為一個上的線性空間.對于任意:,,定義和()為,,進(jìn)一步定義中的零元為,且定義負(fù)元為顯然成為一個上的線性空間.為了得到二次微分形式,我們先引入向量的外積這個概念.設(shè),為平面上兩個線性無關(guān)的向量,我們將行列式稱為向量與的外積,記為,即.平面上的向量的
2、外積的討論可以推廣到上去.設(shè)定義他們的外積為.它是由所張成的平行面體的有向體積.而且這種體積滿足反對稱性和分配律.類似于向量的外積,規(guī)定.因此共有個有序元以這些有序元為基就可以構(gòu)造一個線性空間.其中的元素稱為二次微分形式.簡稱2-形式.于是中的元素可以表示為.這種形式稱為2-形式的標(biāo)準(zhǔn)形式.一般地,在中任意選取個組成有序元,記為,這里是從集合中選取的任意個整數(shù).規(guī)定.以這些有序元為基構(gòu)造一個線性空間.其中的元素稱為次微分形式.簡稱-形式.于是一般k-形式就可以表示為.這種形式稱為形式的標(biāo)準(zhǔn)形式.顯然,當(dāng)時,總有,因此.上的連續(xù)可微函數(shù)稱為形式,它們的全體
3、記為,它是一個線性空間,函數(shù)是它的一個基.現(xiàn)在把中的理解為一種運(yùn)算.對于任意:,,定義與的外積為它是中的元素.下面把這樣的外積定義推廣到任意的和上去.若記為線性空間之和,即有,于是是一個(因)維的線性空間,因此中的元素的一般形式為.記,.則它是形式.對一般形式和形式,定義和的外積為它是形式.對于形式,我們補(bǔ)充定義二外微分的基本概念設(shè)為區(qū)域,上的可微函數(shù)的全微分為這可以理解為:一個-形式作了微分運(yùn)算后成為了-形式.現(xiàn)在將微分運(yùn)算推廣到上去.對中的任意一個-形式.,定義同時,對空間上的任意一個元素定義.這樣,微分運(yùn)算就是線性的,即,,其中為常數(shù).這樣的微分運(yùn)
4、算稱為外微分.顯然,.性質(zhì)1設(shè)為-形式,為-形式,則.證明(留作練習(xí)).設(shè),定義.在下面的討論中,我們假設(shè)微分形式的系數(shù)都具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).例13.34設(shè)為-形式,證明證明由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),因此.所以.性質(zhì)2對任意,有證明由于的線性性,只要證明這種情形即可.這時,由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),因此.所以.因此再由性質(zhì)1可得.二外微分的應(yīng)用首先看Green公式其中閉區(qū)域的邊界由分段光滑的曲線L所圍成.若將看成有向面積元素,那么如果將它看成是正面積元素的話,上式就可以表示為對于-形式,則由外微分的定義可得.于是有下式成立.再看Stokes公式其中為分段光滑
5、的空間有向閉曲線,是以為邊界的分片光滑的有向曲面,的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則.對于-形式,由外微分的定義可得于是Stokes公式則變?yōu)?同樣地,對于Gauss公式其中空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面所圍成.如果我們將有向體積元素看成是正體積元素的話,它就可以表示為對于-形式,我們有.于是Gauss公式則變?yōu)?這樣,Green公式、Gauss公式和Stokes公式就可以統(tǒng)一地寫成如下形式：.這個式子統(tǒng)稱為Stokes公式.它說明了,高次的微分形式在給定區(qū)域上的積分等于低一次的微分形式在低一維的區(qū)域邊界上的積分.習(xí)題14.81.設(shè),,證明:當(dāng)時,.2.設(shè),,證
6、明:.3.設(shè),,為上的形式,證明.4.證明性質(zhì)1.
