任意周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

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1、7.8任意周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一教學(xué)目的與要求1、熟練掌握一般的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)各系數(shù)的計(jì)算公式2、理解傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式二　重點(diǎn)與難點(diǎn)任意周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)各系數(shù)的計(jì)算公式三教學(xué)過(guò)程　上一節(jié)主要討論了以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題。本節(jié)討論一般的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的。7.8.1以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)是以為周期。作變量替換：。帶入f(x)之中，令則是以為周期的函數(shù)。事實(shí)上　　　　　　由上一節(jié)知，在的傅里葉級(jí)數(shù)是其中　　　　將代人，就得到為周期的函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)　　　?。ǎ?/p>

2、.１）和傅里葉系數(shù)　　　　　　　　　（８.２）　　當(dāng)f(x)在區(qū)間上滿足狄利克雷條件時(shí)，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)（８.１）在f(x)的連續(xù)點(diǎn)收斂于f(x)；間斷點(diǎn)處收斂于；在處收斂于。如果f(x)是以為周期的奇函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)是正弦級(jí)數(shù)　　　　　　　　　　　　　?。ǎ?３）系數(shù)　　　　?。ǎ?４）如果f(x)是以為周期的偶函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)是余弦級(jí)數(shù)　　　　　?。ǎ?５）　　系數(shù)（8.6）[例8.1]將周期為1的函數(shù)展為傅里葉級(jí)數(shù)[解]這里。由周期函數(shù)積分的性質(zhì)可知，傅里葉級(jí)數(shù)公式（8.2）中的積分區(qū)間只要保持

3、一個(gè)周期長(zhǎng)的區(qū)間即可。故f(x)在區(qū)間[0，1]上滿足狄利克雷條件，故7.8.2區(qū)間上的函數(shù)的傅里級(jí)數(shù)設(shè)f(x)在上有定義。為了求它的以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，將它任意延拓到區(qū)間上。在理論上，延拓的方式有無(wú)窮多種，可以根據(jù)不同的要求采取不同的方式。當(dāng)常用的是下面兩種：（1）偶延拓。如果希望將f(x)在上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，可令函數(shù)則F（x）是上的偶函數(shù)。若f(x)在上滿足狄利克雷條件，則F（x）上滿足狄利克雷條件。由式（8.6）計(jì)算系數(shù)從而可知（2）奇延拓。如果希望將f(x)在上展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)，可令函數(shù)則F（x）是上

4、的奇函數(shù)。由式（8.4）計(jì)算系數(shù)便得到f(x)在上的奇正弦級(jí)數(shù)（8.3）。[例8.2]將函數(shù)在[0，2]上展開(kāi)為傅里葉正弦級(jí)數(shù)。[解]根據(jù)要求，對(duì)f(x)進(jìn)行奇延拓。由公式（8。4）由于f(x)在[0，2]上連續(xù)，且F（x）在[-2，2]上連續(xù)，故7．8．3傅里葉基數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式，在電子技術(shù)中經(jīng)常使用。利用歐拉公式則若記則上面的基數(shù)變?yōu)椋?.7）注意，當(dāng)n=0時(shí)，。因此式（8.7）可寫為（8.8）稱式（8.8）為函數(shù)f(x)的復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。系數(shù)也可表達(dá)成統(tǒng)一的形式。事實(shí)上，同樣得以上

5、所以的系數(shù)可以通過(guò)一個(gè)式表達(dá)，即（8.9）傅里葉級(jí)數(shù)的兩種形式本質(zhì)上一樣，但復(fù)數(shù)形式（8。8）比較簡(jiǎn)潔，應(yīng)用上常常更為方便。例如，在電子技術(shù)中可以利用它來(lái)作頻譜分析。將一個(gè)周期函數(shù)f(x)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，在物理上就是將一個(gè)復(fù)雜的周期波f（非正弦波）分解為一系列不同頻率的簡(jiǎn)單正弦波（諧波）的疊加。這些正弦波的頻率通常稱為f的頻率成分。在工程應(yīng)用中，經(jīng)常需要分析各種頻率成分的正弦波振幅的大小，稱此為頻譜分析。在f(x)的傅里葉展開(kāi)式中，稱為非正弦波f的直流分量，與f同頻率的正弦波稱為n階諧波。在復(fù)數(shù)形式（8.8

6、）中，由于因此，系數(shù)直接反映里n階諧波大小。通常稱為周期波（或信號(hào)）f的振幅頻譜，簡(jiǎn)稱為頻譜。在作頻譜分析時(shí)，就可以把各階諧波的振幅與頻率之間的函數(shù)關(guān)系畫出相應(yīng)的頻譜圖。[例8.3]將以4為周期，在[-2，2]上定義為函數(shù)展開(kāi)為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，并進(jìn)行頻譜分析。[解]函數(shù)f(x)的圖象如圖8.2，電子學(xué)只稱之為矩形脈沖。其中，有了，就容易畫出它的頻譜圖。周期T=4，取脈沖寬度則列表如下。n0123456700畫出矩形脈沖的頻譜圖（圖8.3），它是一條一條離散的譜線，隨著諧波階數(shù)n的增大，振幅很快減小，并且

7、當(dāng)時(shí)，趨近于零。