周期函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù).ppt

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1、上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):冪級(jí)數(shù).下面研究另一種重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):這種級(jí)數(shù)是由于研究周期現(xiàn)象的需要而產(chǎn)生的.它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很重要的應(yīng)用.傅里葉級(jí)數(shù).傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)1757年,法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動(dòng)時(shí),大膽地采用了三角級(jí)數(shù)表示函數(shù):1759年,拉格朗日在對(duì)聲學(xué)的研究中也使用了三角級(jí)數(shù).1777年,歐拉在研究天文學(xué)的時(shí)候,用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù)時(shí)的系數(shù),也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù).歷史朔源在歷史上,三角級(jí)數(shù)的出

2、現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方程是分不開的.1753年,丹?貝努利首先提出將弦振動(dòng)方程的解表示為三角級(jí)數(shù)的形式,這為函數(shù)的傅里葉展開這個(gè)純數(shù)學(xué)問題奠定了物理基礎(chǔ),促進(jìn)了分析學(xué)的發(fā)展.1822年,傅里葉在《熱的解析理論》一書中對(duì)于歐拉和貝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用的三角級(jí)數(shù)方法進(jìn)行加工處理,發(fā)展成一般理論.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)在自然界和人類的生產(chǎn)實(shí)踐中,周期運(yùn)動(dòng)很常見.如行星的飛轉(zhuǎn),飛輪的旋轉(zhuǎn),蒸氣機(jī)活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng),數(shù)學(xué)上,用周期函數(shù)來描述它們.最簡(jiǎn)單最基本的周期函數(shù)是諧函數(shù)周期振幅時(shí)間角頻率初相簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧振動(dòng)

3、正弦型函數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)物體的振動(dòng),聲、光、電的波動(dòng)等.問題的提出如矩形波除了正弦函數(shù)外,常遇到的是非正弦周期函數(shù),傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)11傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)把一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)(如矩形波)分解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的迭加,反映在數(shù)學(xué)上,是把一個(gè)周期函數(shù)f(t)表示為各類正弦函數(shù)的迭加,即諧波分析即傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)？函數(shù)f(t)滿足什么條件,系數(shù)

4、才能展為如何確定?三角級(jí)數(shù)?傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)基本三角函數(shù)系的正交性的正交性是指:其中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在一個(gè)周期長的區(qū)間而任一個(gè)函數(shù)的自乘(平方)在傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)(orthogonality)基本三角函數(shù)系傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)(Fouriercoefficient)三角函數(shù)系的正交性兩邊積分傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性18傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性解由傅里葉系數(shù)公式偶奇練習(xí)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)函

5、數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)注稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù).函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)常記為f(x)?注f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)不見得收斂；即使收斂，級(jí)數(shù)的和也不一定是f(x).不能無條件的傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理解決了這些問題.所以,把符號(hào)“?”它的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)f(x)滿足什么條件時(shí)，并收斂于f(x)本身.換為“=”.傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)狄利克雷(Dirichlet)收斂定理傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)(1)函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開成(2)周期函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開是唯一的,就是(3)要

6、注明傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f(x)相等注冪級(jí)數(shù)的條件低得多;其傅里葉級(jí)數(shù);傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)的x的取值范圍.解因?yàn)楦道锶~(Fourier)級(jí)數(shù)練習(xí)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)解題程序并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(畫圖目的:驗(yàn)證狄氏條件;由圖形寫出收斂域;易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);(2)求出傅氏系數(shù);(3)寫出傅氏級(jí)數(shù),并注明它在何處收斂于f(x).傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)(1)畫出f(x)的圖形,解u(t)的圖象計(jì)算傅里葉系數(shù)奇的傅里葉級(jí)數(shù).例傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)偶傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)故u(

7、t)的傅里葉級(jí)數(shù)為由于u(t)滿足狄利克雷條件,所以傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)u(t)的圖象和函數(shù)圖象解計(jì)算傅里葉系數(shù)例傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)將f(x)展開為傅里葉級(jí)數(shù).f(x)的圖象傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)故f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)由于f(x)滿足狄利克雷充分條件,由收斂定理得傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)(2)F(x)展開為傅里葉級(jí)數(shù);注作法傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)對(duì)于非周期函數(shù),如果f(x)只在區(qū)間上有定義,并且滿足狄氏充分條件,也可展開成傅氏級(jí)

8、數(shù).解例將函數(shù)展開為傅氏級(jí)數(shù).延拓后的周期函數(shù)連續(xù),其傅氏級(jí)數(shù)展開式在下面計(jì)算傅里葉系數(shù).傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)收斂于f(x).偶函數(shù)奇函數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)所求函數(shù)的傅氏展開式為利用傅氏展開式求級(jí)數(shù)的和傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)為周期的傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在上的解s(x)=練習(xí)傅里葉(Four