一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù).ppt

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1、§8一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一、周期為的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理設(shè)是周期為的周期函數(shù)，且滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級(jí)數(shù)在上收斂,且(1)(2)當(dāng)為連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于為間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于當(dāng)其中(1)(2)證作換元，則在此變換下區(qū)間變?yōu)閰^(qū)間是周期為的周期函數(shù)可以驗(yàn)證：的傅氏級(jí)數(shù)在上收斂，且其中(*)由與復(fù)合而成是的連續(xù)點(diǎn)是的連續(xù)點(diǎn)由與復(fù)合而成是的連續(xù)點(diǎn)是的連續(xù)點(diǎn)即：是的連續(xù)點(diǎn)是的連續(xù)點(diǎn)將代入(*)式，得的連續(xù)點(diǎn),,是的間斷點(diǎn)是其中即(1)(2)式。證畢。說(shuō)明(1)當(dāng)上是奇函數(shù)時(shí)，奇函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)是正弦級(jí)數(shù)在(3)其中，按(3

2、)式計(jì)算。當(dāng)上是偶函數(shù)時(shí)，偶函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)是余弦級(jí)數(shù)在(4)其中，按(4)式計(jì)算。(2)若只在上有定義，且滿足收斂定理的條件，也可將它展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)。方法：首先，將進(jìn)行周期延拓，將它拓廣為周期為的周期函數(shù)；然后將展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)；最后，再將限制在上，就得到的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式。即：按(1)、(2)式求出從而得到的傅氏級(jí)數(shù)在點(diǎn)，是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于；是的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于在端點(diǎn)，級(jí)數(shù)收斂于(3)若只在上有定義，且滿足收斂定理的條件，可將它展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦首先，將進(jìn)行奇延拓，將它拓廣為上的奇函數(shù)；然后，將展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)(正弦級(jí)數(shù))

3、；最后，再將限制在上，就得到的正弦級(jí)數(shù)即：級(jí)數(shù)。展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)的方法：展開(kāi)式。按(3)式求出從而得到的正弦級(jí)數(shù)在點(diǎn)，是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于；是的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于在端點(diǎn)，級(jí)數(shù)收斂于首先，將進(jìn)行偶延拓，將它拓廣為上的偶函數(shù)；然后，將展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)(余弦級(jí)數(shù))；最后，再將限制在上，就得到的余弦級(jí)數(shù)即：展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)的方法：展開(kāi)式。按(4)式求出從而得到的余弦級(jí)數(shù)在點(diǎn)，是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于是的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于在端點(diǎn)，級(jí)數(shù)收斂于，級(jí)數(shù)收斂于例1設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為將展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。解滿足收斂定理的條件，它在點(diǎn)

4、處間斷，在其它點(diǎn)處連續(xù)。由收斂定理，得當(dāng)時(shí)，傅氏級(jí)數(shù)收斂于當(dāng)時(shí)，傅氏級(jí)數(shù)收斂于計(jì)算傅氏系數(shù)：的傅氏級(jí)數(shù)為：例2將函數(shù)展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).解將偶延拓.在上連續(xù)當(dāng)時(shí)，余弦級(jí)數(shù)收斂于在端點(diǎn)，余弦級(jí)數(shù)收斂于令在端點(diǎn)，余弦級(jí)數(shù)收斂于，求按公式(4)得：余弦級(jí)數(shù)為例3將函數(shù)展開(kāi)成以為周期的傅氏級(jí)數(shù)。解令，則在此變換下，變?yōu)閰^(qū)間區(qū)間這樣，記下面將展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。在上連續(xù)的傅氏級(jí)數(shù)收斂于在點(diǎn)，在端點(diǎn)的傅氏級(jí)數(shù)收斂于，奇函數(shù)偶函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)為將換回，得即補(bǔ)充題：將函數(shù)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。作業(yè)補(bǔ)充題答案：