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《求解對(duì)流擴(kuò)散方程的一種高精度緊致差分格式》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、第40卷第9期西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2018年9月Vol.40No.9JournalofSouthwestUniversity(NaturalScienceEdition)Sep.2018DOI:10.13718/j.cnki.xdzk.2018.09.014求解對(duì)流擴(kuò)散方程的一種高精度緊致差分格式①羅傳勝1,李春光2,董建強(qiáng)1,景何仿31.北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,銀川750021;2.北方民族大學(xué)土木工程學(xué)院,銀川750021;3.北方民族大學(xué)數(shù)值計(jì)算與工程應(yīng)用研究所,銀川750021摘要:在指數(shù)變換的基礎(chǔ)上,將對(duì)流擴(kuò)散方程變?yōu)閿U(kuò)散方程,消除了數(shù)值求
2、解中較難處理的對(duì)流項(xiàng),采用四階緊致差分方法離散擴(kuò)散方程的空間變量,采用擴(kuò)展的144).理-Simpson公式離散時(shí)間變量,格式的截?cái)嗾`差為O(τ+h3論分析證明該格式是無(wú)條件穩(wěn)定的.通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法的有效性.1關(guān)鍵詞:高精度緊致格式;無(wú)條件穩(wěn)定;指數(shù)變換;數(shù)值計(jì)算;擴(kuò)展的-Simpson公式3中圖分類號(hào):O241.82文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):16739868(2018)09009105許多自然科學(xué)現(xiàn)象和工程領(lǐng)域均涉及對(duì)流傳熱問(wèn)題.對(duì)于給定流場(chǎng)的對(duì)流傳熱現(xiàn)象,其模型方程為對(duì)流擴(kuò)散方程.由于傳熱介質(zhì)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和實(shí)際問(wèn)題中邊界條件的多樣性,我們一般無(wú)法得到對(duì)
3、流傳熱問(wèn)題的解析解,因此研究高效率、高精度數(shù)值求解對(duì)流擴(kuò)散方程的新算法具有重要的應(yīng)用價(jià)值.對(duì)于對(duì)流擴(kuò)散方程數(shù)值求解常見(jiàn)的差分格式有很多,如修正中心顯示格式(CD)、迎風(fēng)格式(FUD)、Crank-Nicolson格式(C-N)等,雖然都是絕對(duì)穩(wěn)定的,但它們的截?cái)嗾`差均較低.目前已有許多研究對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn):文獻(xiàn)[1-3]使用Hermite插值思路給出了求解空間的四階差分格式,但只適用于穩(wěn)態(tài)的對(duì)流擴(kuò)散方程;文獻(xiàn)[4-6]使用綜合變換建立了求解對(duì)流擴(kuò)散方程的一種兩層四階差分格式,但增加了離散方程節(jié)點(diǎn)數(shù),計(jì)算比較復(fù)雜;文獻(xiàn)[7]提出了求解一維定常對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題非均勻網(wǎng)格上的
4、多項(xiàng)式型高階緊致差分格式,但對(duì)于邊界條件的處理較困難;文獻(xiàn)[8]利用四階精度的三次樣條公式提出了時(shí)間二階空間四階精度的兩層緊致隱格式;文獻(xiàn)[9]提出了構(gòu)造高階精度的待定系數(shù)法,雖然很好地解決了對(duì)流項(xiàng)的耗散問(wèn)題,但精度較低,且計(jì)算較復(fù)雜.本文利用指數(shù)變換將對(duì)流擴(kuò)散方程變?yōu)閿U(kuò)散方程,然后采用三點(diǎn)四階緊致差分方法離散擴(kuò)散方程的1空間變量,利用擴(kuò)展的-Simpson公式離散時(shí)間變量,構(gòu)造出一種求解對(duì)流擴(kuò)散方程的新的高精度緊致3差分格式.1差分格式的構(gòu)造在計(jì)算流體力學(xué)中,天然河道中的水沙運(yùn)動(dòng)、水中污染物的擴(kuò)散是最常見(jiàn)的一種流動(dòng)現(xiàn)象,伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展,建立數(shù)學(xué)模型已
5、經(jīng)成為模擬這些流動(dòng)現(xiàn)象的一種重要手段,然而污染物的擴(kuò)散和水沙運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型可以寫成統(tǒng)一的對(duì)流擴(kuò)散方程形式,考慮如下簡(jiǎn)單形式的對(duì)流擴(kuò)散方程①收稿日期:20170504基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11361002;11761005).作者簡(jiǎn)介:羅傳勝(1991),男,碩士,主要從事微分方程數(shù)值解法研究.通信作者:李春光,教授.2西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)http://xbbjb.swu.edu.cn第40卷2?u?u?u+p=a2(x,t)∈Ω×[0,T](1)?t?x?x的初邊值問(wèn)題u(0,t)=u(1,t)=0t∈[0,T]u(x,0)=d(x)x∈Ω其中:u(
6、x,t)表示未知量,a為擴(kuò)散系數(shù),p為對(duì)流系數(shù),Ω=[0,1],d(x)是足夠光滑的函數(shù).先做指數(shù)變換pp2x-t2a4au=ev(2)將(2)式帶入(1)式后可得2?v?v=a(3)2?t?x1先對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散,空間方向進(jìn)行N等分網(wǎng)格劃分,步長(zhǎng)h=,時(shí)間步長(zhǎng)為τ,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為(xj,tn),N其中xj=jh,tn=nτ,j=0,1,2,…,N.對(duì)于任意固定的t,設(shè)vj(t)是v(xj,t)的近似值,(vxx)j(t)是vxx(xj,t)的近似值,(vt)j(t)是vt(xj,t)的近似值.[10]對(duì)空間內(nèi)部節(jié)點(diǎn)采用四階緊致差分公式來(lái)離散空間變量??2v?2-1
7、?h2?24?2÷=?1+δx÷δxvj+O(h)(4)è?x?jè12?其中δ2是二階中心差分算子.將(4)式帶入(3)式后可得到xVt(t)=CV(t)(5)其中:-1C=ABév(x1,t)ùêúêv(x2,t)úêúV(t)=ê?úêúv(xN-2,t)êúêú?v(xN-1,t)?(N-1)×1é51ùêúê612úêú15ê?úê126úA=êú1ê??úê12úêú15êêúú?126?(N-1)×(N-1)é-21ùêúaê1-2?úB=2êúhê??1úêú?1-2?(N-1)×(N-1)采用擴(kuò)展的1[11]對(duì)時(shí)間方向進(jìn)行離散,設(shè)v?(?(-Si
8、mpson
