專題四 數(shù)列求和第2講

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1、第2講　數(shù)列求和及綜合應(yīng)用考情解讀　高考對(duì)本節(jié)知識(shí)主要以解答題的形式考查以下兩個(gè)問題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公式，考查用等差、等比數(shù)列知識(shí)分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題．1．?dāng)?shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并．(2)錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{a

2、n·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和．(4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或n項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和．這種方法，適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中{an}若為等差數(shù)列，則＝.常見的裂項(xiàng)公式：①＝－；②＝(－)；③＝(－)；④＝(－)．2．?dāng)?shù)列應(yīng)用題的模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，

3、該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比．(3)混合模型：在一個(gè)問題中同時(shí)涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型．(4)生長(zhǎng)模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少)時(shí)，我們稱該模型為生長(zhǎng)模型．如分期付款問題，樹木的生長(zhǎng)與砍伐問題等．(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前n項(xiàng))間的遞推關(guān)系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識(shí)來解決問題．熱點(diǎn)一　分組轉(zhuǎn)化求和例1　等比數(shù)列{an}中，a1，a

4、2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nlnan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.思維啟迪　(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個(gè)推敲確定{an}的通項(xiàng)公式；(2)分組求和．解　(1)當(dāng)a1＝3時(shí)，不合題意；當(dāng)a1＝2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝6，a3＝18時(shí)，符合題意；當(dāng)a1＝10時(shí)，不合題意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N*)．(2)因?yàn)閎n

5、＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.綜上所述，Sn＝思維升華　在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想．把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)

6、列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解．在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式．　已知數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝()n(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{a2n}與{a2n－1}(n∈N*)都是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和為T2n，令bn＝(3－T2n)·n·(n＋1)，求數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)．(1)證明　因?yàn)閍nan＋1＝()n，an＋1an＋2＝()n＋1，所以＝.又a1＝1，a2＝，所以數(shù)列a1，a3，…，a2n

7、－1，…，是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列a2，a4，…，a2n，…，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．(2)解　由(1)可得T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－3()n，所以bn＝3n(n＋1)()n，bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)()n＋1，所以bn＋1－bn＝3(n＋1)()n(－n)＝3(n＋1)()n＋1(2－n)，所以b1b4>…>bn>…，所以(bn)max＝b2＝b3＝.熱點(diǎn)二　錯(cuò)位相減法求和例2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，(1)求數(shù)

8、列{an}的通項(xiàng)公式；(