數(shù)學(xué)高復(fù)二十講(18)概率與統(tǒng)計(jì)

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1、第十八講概率與統(tǒng)計(jì)【知識(shí)梳理】一、概率1.概率基本概念(1)隨機(jī)事件*必然事件，不可能事件(2)互斥事件*彼此互斥(3)對(duì)立事件(4)獨(dú)立事件2.概率定義m(1)統(tǒng)計(jì)定義P(A)∽,0≤P(A)≤1.nm(2)古典定義P(A)＝,0≤P(A)≤1.n3.概率基本定理(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A·B)*P(A)＋P(－A)＝P(A＋－A)＝1(2)P(A·B)＝P(A)P(B

2、A)(3)Pn(k)＝Ckk(1－p)n?knp4.隨機(jī)變量(理科)(1)隨機(jī)變量???的?分布列(2)期望E??

3、＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…(3)方差D??＝(x1－E??)2p1＋(x2－E??)2p2＋…＋(xn－E??)2pn＋…*標(biāo)準(zhǔn)差????＝D???(4)性質(zhì)①設(shè)??＝?a??＋b,則E?＝aE???＋b,D?＝a2D??.②設(shè)???∽B(n,p),則E??＝np,D???＝np(1－p).二、統(tǒng)計(jì)1.統(tǒng)計(jì)概念(1)統(tǒng)計(jì)圖表(2)總體與樣本*個(gè)體,容量(3)抽樣方法:隨機(jī)抽樣,系統(tǒng)抽樣,分層抽樣(4)總體分布的估計(jì)2.統(tǒng)計(jì)分析(1)正態(tài)分布(2)線性回歸【參考例題】1.從0到9這10個(gè)數(shù)字中任

4、取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這數(shù)不能被３整除的概率為()19353841A.B.C.D.54545460解:設(shè)A＝{0,3,6,9},B＝{1,4,7},C＝{2,5,8}.則可組成32A10－A9＝648個(gè)三位數(shù)，其中(1)在A中取3個(gè)數(shù)字,可以組成能被３整除的的三位數(shù)有C12·A＝18(個(gè))33(2)在B,C中各取3個(gè)數(shù)字,可以組成能被３整除的的三位數(shù)有32·A3＝12(個(gè))(3)在A,B,C中各取1個(gè)數(shù)字,可以組成能被３整除的的三位數(shù)有C1113112·C·C·A－C·C·A＝198(個(gè)

5、)433333218＋12＋19835所以,所求概率為p＝1－＝,選B.648542.將7個(gè)人（含甲、乙）分成三個(gè)組，一組3人，另兩組2人，不同的分組數(shù)為a，甲、乙分在同一組的概率為p，則a、p的值分別為（）54A.a＝105,p＝B.a＝105,p＝212154C.a＝210,p＝D.a＝210,p＝2121C22·C解:a＝75＝105.A2212C5·C4甲、乙分在3人組的分法有＝15(種)A22甲、乙分在2人組的分法有C2＝10(種)515＋105所以,甲、乙分在同一組的概率為p＝＝.10521選

6、C.3.一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2，將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是.111解:將正方體拋擲1次，出現(xiàn)0,1,2的概率分別是,,.23611113P(??＝0)＝·＋2··＝,22224111P(??＝1)＝·＝,339111P(??＝2)＝2··＝,369111P(??＝4)＝·＝,66361114E??＝1·＋2·＋4·＝.993694.一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖（

7、如下圖）．為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在［2500，3000）（元）月收入段應(yīng)抽出人．解:p＝0.0005×(3000－2500)＝0.25,m＝10000×0.25＝2500(人),而樣本容量:總體個(gè)數(shù)＝100:10000＝1:100所以,在［2500，3000）（元）月收1入段應(yīng)抽出2500×＝25(人).1005.某公司招聘員工，指定三門(mén)考試課程，有兩種考試方案.方案一：考試三門(mén)課程，至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò)；方案

8、二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格為考試通過(guò).假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是a、b、c，且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.(1)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率；(2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小.（說(shuō)明理由）解:設(shè)對(duì)指定課程考試及格的事件記為A,B,C,則P(A)＝a,P(B)＝b,P(C)＝c.(1)p1＝P(A·B·－C)＋P(A·－B·C)＋P(－A·B·C)＋P(A·B·C)＝ab(1－c)＋ac(1－b)＋bc(1－a)＋ab

9、c＝ab＋bc＋ca－2abc.1111p2＝P(A·B)＋P(B·C)＋P(C·A)＝(ab＋bc＋ca).3333(2)∵a,b,c∈[0,1],2∴p1－p2＝(ab＋bc＋ca)－2abc32＝[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ca(1－b)]≥0,3∴p1≥p2.6.甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球.現(xiàn)從甲，乙兩袋中各任取2個(gè)球.(1)若n＝3，求取到的4個(gè)球