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《韋達(dá)定理練習(xí)精選》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、1、不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差:(1)(2)(3)2、已知關(guān)于的方程,是否存在負(fù)數(shù),使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于4?若存在,求出滿足條件的的值;若不存在,說明理由。3、已知方程,作一個(gè)新的一元二次方程,使它的根分別是已知方程各根的平方的倒數(shù)。4、解方程組1、在關(guān)于的方程中,(1)當(dāng)兩根互為相反數(shù)時(shí)的值;(2)(2)當(dāng)一根為零時(shí)的值;(3)(3)當(dāng)兩根互為倒數(shù)時(shí)的值2、求出以一元二次方程的兩根的和與兩根的積為根的一元二次方程。3、解方程組4、已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足,,,分別是的,,的對(duì)邊。(1)證明方程的兩個(gè)根都是正根;(
2、2)若,求的度數(shù)。9、在中,,斜邊AB=10,直角邊AC,BC的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求的值。例題1:(1)若關(guān)于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍,則k=________(2)已知:a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的兩個(gè)根,求:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=__________解法一:(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(1+2000a+a2+6a)(1+2000b+b2+5b)=6a?5b=30ab解法二:由題意知∵a2+2000a+1=0;b2+2000b+1=0
3、∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(2006a-2000a)(2005b-2000b)=6a?5b=30ab解法三:∵ab=1,a+b=-2000∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(ab+2006a+a2)(ab+2005b+b2)=a(b+2006+a)?b(a+2005+b)=a(2006-2000)?b(2005-2000)=30ab例題2:已知:等腰三角形的兩條邊a,b是方程x2-(k+2)x+2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,另一條邊c=1,求:k的值。韋達(dá)定理
4、在解題中的應(yīng)用一、直接應(yīng)用韋達(dá)定理若已知條件或待證結(jié)論中含有a+b和a·b形式的式子,可考慮直接應(yīng)用韋達(dá)定理.例1已知a+a2-1=0,b+b2-1=0,a≠b,求ab+a+b的值.二、先恒等變形,再應(yīng)用韋達(dá)定理若已知條件或待證結(jié)論,經(jīng)過恒等變形或換元等方法,構(gòu)造出形如a+b、a·b形式的式子,則可考慮應(yīng)用韋達(dá)定理.例2若實(shí)數(shù)x、y、z滿足x=6-y,z2=xy-9.求證:x=y(tǒng).三、已知一元二次方程兩根的關(guān)系(或系數(shù)關(guān)系)求系數(shù)關(guān)系(或求兩根的關(guān)系),可考慮用韋達(dá)定理例3已知方程x2+px+q=0的二根之比為1∶2,方程的判別式的值為1.求
5、p與q之值,解此方程.例4設(shè)方程x2+px+q=0的兩根之差等于方程x2+qx+p=0的兩根之差,求證:p=q或p+q=-4.證明:設(shè)方程x2+px+q=0的兩根為α、β,x2+qx+P=0的兩根為α'、β'.由題意知α-β=α'-β',故有α2-2αβ+β2=α'2-2α'β'+β'2.從而有(α+β)2-4αβ=(α'+β')2-4α'β'.①把②代入①,有p2-4q=q2-4p,即p2-q2+4p-4q=0,即(p+q)(p-q)+4(p-q)=0,即(p-q)(p+q+4)=0.故p-q=0或p+q+4=0,即p=q或p+q=-4.四
6、、關(guān)于兩個(gè)一元二次方程有公共根的題目,可考慮用韋達(dá)定理例5當(dāng)m為問值時(shí),方程x2+mx-3=0與方程x2-4x-(m-1)=0有一個(gè)公共根?并求出這個(gè)公共根.解:設(shè)公共根為α,易知,原方程x2+mx-3=0的兩根為α、-m-α;x2-4x-(m-1)=0的兩根為α、4-α.由韋達(dá)定理,得α(m+α)=3,①α(4-α)=-(m-1).②由②得m=1-4α+α2,③把③代入①得α3-3α2+α-3=0,即(α-3)(α2+1)=0.∵α2+1>0,∴α-3=0即α=3.把α=3代入③,得m=-2.故當(dāng)m=-2時(shí),兩個(gè)已知方程有一個(gè)公共根,這個(gè)公
7、共根為3.