基于徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的電磁場(chǎng)計(jì)算研究

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1、維普資訊http://www.cqvip.com第32卷增刊華北電力人學(xué)學(xué)報(bào)Vo1．32，Sup2005年12月JournalofNorthChinaElectricPowerUniversityDec一2oo5基于徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的電磁場(chǎng)計(jì)算研究張淮清，俞集輝(重慶人學(xué)電氣工程學(xué)院，重慶400044)摘要：目前，將無網(wǎng)格方法引入電磁場(chǎng)計(jì)算已成為向基函數(shù)(RadialBasisFunction，RBF)網(wǎng)絡(luò)，前者研究熱點(diǎn)，它克服網(wǎng)格法中網(wǎng)格數(shù)與精度、網(wǎng)格與具有全局逼近能力，后者則側(cè)重于局部逼近。經(jīng)分插

2、值等存在的問題。徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)是一種無網(wǎng)格析比較，本文主要研究基于RBF網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)逼近，技術(shù)，它借助網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)和非線性映射實(shí)現(xiàn)對(duì)微分其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。設(shè)廠()是對(duì)原函數(shù)y()方程解的逼近，并將解的信息隱含于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)的逼近，g()為核函數(shù)(即基函數(shù))，w為權(quán)值，則中。文章給出了該方法的相關(guān)技術(shù)和實(shí)現(xiàn)步驟，并，()是g()的線性組合，滿足：以一維和二維靜態(tài)場(chǎng)為例進(jìn)行計(jì)算和分析，表明了，()=∑W?g㈣()(1)該方法的可行性和計(jì)算性能的優(yōu)勢(shì)。關(guān)鍵詞：徑向基函數(shù)：偏微分方程：函數(shù)逼近在上式中，核函

3、數(shù)選用多二次函數(shù)中圖分類號(hào)：TM15文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A(Multiquadrics，MQ)，表達(dá)式為：引言g㈤-C(i)l1)-g㈤(廠)=√廠。+㈣。(2)電磁場(chǎng)計(jì)算均歸結(jié)于Maxwell方程組的求解，從根奉上說是一類偏微分方程(PartialDifferentialEquation，PDE)的求解。在目前的數(shù)值_方法中，有限差分法(FiniteDifferenceMethod，F(xiàn)DM)、有限元法(FiniteElementMethod，F(xiàn)EM)以及邊界元法(BoundaryElementMethod

4、，BEM)得到了廣泛應(yīng)用。它們的特點(diǎn)都是場(chǎng)域離散化和近似處理后，經(jīng)—V計(jì)算給出數(shù)值結(jié)果，但實(shí)現(xiàn)中存在以下問題：①求’—

5、解精度與計(jì)算量的矛盾，即為提高解的精度，需增加網(wǎng)格數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算量的激增：②數(shù)值解不能體現(xiàn)_一j廠＼計(jì)算結(jié)果與條件的關(guān)系，解不具有普遍性。針對(duì)以一～圖1dRBF＼網(wǎng)，絡(luò)l，，結(jié)／構(gòu)圖＼／上缺陷，以近似函數(shù)為基礎(chǔ)的無網(wǎng)格方法引起了極因而，逼近問題化為權(quán)值W、中心C和半徑a大關(guān)注。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種兀網(wǎng)格技術(shù)，利用它的并的計(jì)算，依據(jù)誤差平方和最小準(zhǔn)則，最優(yōu)參數(shù)對(duì)應(yīng)行結(jié)構(gòu)形式、非線性傳輸函數(shù)和

6、學(xué)習(xí)能力，從理論于(3)式的解。J來說可實(shí)現(xiàn)對(duì)求解函數(shù)的任意精度逼近，可以認(rèn)min(SSE)=rain(∑一f(x?)(3)為它是實(shí)現(xiàn)函數(shù)近似的一種重要方法。本文研究側(cè)重于權(quán)值W的優(yōu)化計(jì)算，由于1徑向基函數(shù)求解PDE的原理f(x)是g(x)的線性組合，所以在權(quán)值一定時(shí)，通由于含單隱層的前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有對(duì)任意函過對(duì)核函數(shù)g(x)的求導(dǎo)或積分，可實(shí)現(xiàn)對(duì)y(x)的數(shù)的無限逼近能力，微分方程在適定時(shí)，存在顯式導(dǎo)數(shù)或積分的逼近。因而在逼近y(x)時(shí)，可直接用或隱式解，因而前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過學(xué)習(xí)就一一定能夠g(x

7、)逼近，也可先用g(x)逼近y(x)的導(dǎo)數(shù)，然后逼近方程的解，并且將解的信息隱含于網(wǎng)絡(luò)參數(shù)用g(x)的積分逼近y(x)。前者稱為直接法(DRBF)，巾。Maxwell方程為偏微分方程，所以借助函數(shù)逼后者為間接法(IRBF)。文獻(xiàn)【1】對(duì)這兩種方法進(jìn)行了近可實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁場(chǎng)問題的求解。詳細(xì)的分析比較，仿真實(shí)驗(yàn)表明：在相同情況下，1．1基于徑向基函數(shù)的函數(shù)逼近間接法能夠取得更好的效果。目前廣泛應(yīng)用的前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要有BP和徑1．2徑向基函數(shù)求解PDE的方法維普資訊http://www.cqvip.com11

8、0華北電力大學(xué)學(xué)報(bào)2005年為簡要說明應(yīng)用RBF直接逼近法求解PDE的上式中，Xc和Xb分別表示求解域和邊界上的測(cè)試過程，下面以二維Poisson方程為例，設(shè)“()滿足：點(diǎn)。當(dāng)Cfi)和a“確定后，欲實(shí)現(xiàn)最優(yōu)逼近，即誤差平方和最小，結(jié)合式(15)并應(yīng)用最小二乘法知。VU=p()，(4)w=(GTG)一GTY，因此，求解域中任意點(diǎn)的函數(shù)邊值條件為：“：P。()，X∈(5)值均可根據(jù)公式：“()廠()：∑W㈨gm()進(jìn)行計(jì)n·Vu：P()，X∈(6)i=1求解中，先在求解域Q內(nèi)選擇n個(gè)測(cè)試點(diǎn)，并算，亦即

9、求得了PDE的解。作為核函數(shù)的中心，然后在邊界上選擇(m—n)個(gè)SSE=∑【廠。。(“)+廠(“)一p(x㈣)】+測(cè)試點(diǎn)，總訓(xùn)練點(diǎn)數(shù)為m，核函數(shù)和權(quán)值數(shù)為n；∑【，(“)一Pl(“)】+(15)訓(xùn)練中，求解域內(nèi)測(cè)試點(diǎn)滿足式(4)，而邊界上滿J∈足(5～6)式。∑In。廠。(“)+，z：廠(／L“)一p!(㈣，)】1在直接法逼近中，廠()=∑W㈣g㈣()z“()，、、m、¨，i=12方法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)技術(shù)根據(jù)上面敘述有：前面主要介紹了直接法求解PDE的基本原理廠)：∑w?h