羅爾、拉格朗日、柯西中值定理、洛必達(dá)法則、泰勒公式等與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

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1、中值定理與導(dǎo)?的應(yīng)用內(nèi)容概要?稱?要內(nèi)容?3.令?3.以?3.令?稱條?結(jié)論中值羅爾y=f(x)??令?在[a,b]к連續(xù)??以?在(a,b)至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)使得定理中值定理/內(nèi)可???3?f(a)=f(b)f(ξ)=0拉格y=f(x)??令?在[a,b]к連續(xù)??以?在(a,b)至少存在一點(diǎn)ξ∈)b,a(使得朗日中值內(nèi)可?/f(b)?f(a)f(ξ)=定理b?a柯西f(x)?g(x)??令?在[a,b]к連續(xù)?在(a,b)至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)使得中值定理//內(nèi)可???以?在(a,b)內(nèi)?點(diǎn)處g(x)≠0f(ξ)f(b)?f(a)=/g(ξ)b?a3.以基本形式0∞型о型未定式

2、洛必0∞達(dá)通?或取倒數(shù)化?0∞令?∞?∞型?常用通?的手段化?型或型?法則基本形式0∞0∞以?0?∞型?常用取倒數(shù)的手段化?型或型?即?0∞00∞∞0?∞??或0?∞???1/∞01/0∞取對數(shù)化?000ln0?00令?0型?取對數(shù)得0?e??中0ln0???∞?0?基本形式1/∞0∞∞或0ln0???∞?0??1/0∞∞∞∞?ln1以?1型?取對數(shù)得1?e?00?中∞?ln1?∞??0?1/∞0∞∞或∞?ln1?∞??0??1/0∞000?ln∞3?∞型?取對數(shù)得∞=e?00?中0ln?∞??∞?0?1/∞0∞∞或0ln?∞??∞?0??1/0∞課后習(xí)題全解習(xí)題3-1★令.л列函數(shù)在給定區(qū)間

3、к是否滿足羅爾定理的所有條?？如滿足?請求?滿足定理的數(shù)值ξ?2?令?f(x)=2x?x?,[3?11.,]5??以?f(x)=x3?,x0[,]3?知識點(diǎn)?羅爾中值定理?/思路?根據(jù)羅爾定理的條?和結(jié)論?求解方程f(ξ)=0?得到的根ξ便?所求?2解??令??f(x)=2x?x?3在[?11.,]5к連續(xù)?在(?)5.1,1內(nèi)可??且f(?)1=f1(.)5=0?2?f(x)=2x?x?3在[?11.,]5к滿足羅爾定理的條???fξ′()=4ξ?=10得1ξ=∈(?11.,)5即?所求?4?以??f(x)=x3?x在0[,]3к連續(xù)?在0(,)3內(nèi)可??且f)0(=f)3(=0??f(x)

4、=x3?x在0[,]3к滿足羅爾定理的條???ξfξ′()=3??ξ=0?得ξ=2∈0(,)3即?所求?23?ξ32★以.驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)y=4x?5x+x?2在區(qū)間0[,]1к的↓確性?知識點(diǎn)?拉格朗日中值定理?f(1)?f(0)思路?根據(jù)拉格朗日中值定理的條?和結(jié)論?求解方程fξ′()=?若得到的根ξ∈0[,]1則10?可驗(yàn)證定理的↓確性?3232解??y=fx()=4x?5x+?x2在0[,]1連續(xù)?在0(,)1內(nèi)可???y=4x?5x+x?2在2區(qū)間0[,]1к滿足拉格朗日中值定理的條??又f)1(=?2,f)0(=?2?fx′()12=x?10x+1?f(1)?f(0)5±

5、13?要使f′()ξ==0?只要?ξ=∈(01),?10?125±13f(1)?f(0)??=ξ∈(01),?使fξ′()=?驗(yàn)證完??1210?4★3.已知函數(shù)f(x)=x在區(qū)間1[,]2к滿足拉格朗日中值定理的條??試求滿足定理的ξ?33f(2)?f(1)31515解?要使fξ′()=?只要4ξ=15?ξ=?從而ξ=∈(12),即?滿足定理21?44的ξ?2★★4.試證明對函數(shù)y=px+qx+r應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的點(diǎn)ξ總是位于區(qū)間的↓中間?2證明?н妨設(shè)所討論的區(qū)間?[a,b]?則函數(shù)y=px+qx+r在[a,b]к連續(xù)?在(a,b)內(nèi)可??從22fb()?fa()(pb+qb+

6、r)?(pa+qa+r)而有fξ′()=?即2ξ+q=?ba?b?ab+a解得ξ=?結(jié)論成立?232★5.函數(shù)f(x)=xоg(x)=x+1在區(qū)間1[,]2к是否滿足柯西定理的所有條?？如滿足?請求?滿足定理的數(shù)值ξ?知識點(diǎn)?柯西中值定理?fξ′()fb()?fa()思路?根據(jù)柯西中值定理的條?和結(jié)論?求解方程=?得到的根ξ便?所求?gξ′()gb()?ga()32解??f(x)=x及g()x=x+1在1[,]2к連續(xù)?在1(,)2內(nèi)可??且在1(,)2內(nèi)的?一點(diǎn)處有2fξ′()f(2)?f(1)3ξ7gx′()=2x≠0?所?滿足柯西中值定理的條??要使=?只要=?解gξ′()g(2)?g(

7、1)2ξ314得ξ=∈1(,)2?ξ即?滿足定理的數(shù)值?9★★★6.設(shè)f(x)在0[,]1к連續(xù)?在0(,)1內(nèi)可??且f)1(=0?求證?f()ξ存在ξ∈0(,)1?使fξ′()=??ξ知識點(diǎn)?羅爾中值定理的應(yīng)用?/f(ξ)/思路?從f(ξ)=?結(jié)論?發(fā)?變形?f(ξ)ξ+f(ξ)=0?構(gòu)造輔助函數(shù)使??函數(shù)?ξ/f(x)x+f(x)?然?再利用羅爾中值定理?便得結(jié)論?構(gòu)造輔助函數(shù)?是利用中值定