羅爾定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必達法則與導數(shù)的應用

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1、內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（3.1、3.2）3.1中值定理名稱條件結(jié)論羅爾中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導；（3）至少存在一點使得拉格朗日中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導至少存在一點使得柯西中值定理、：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導；（2）在內(nèi)每點處至少存在一點使得3.2洛必達法則基本形式型與型未定式通分或取倒數(shù)化為基本形式1）型：常用通分的手段化為型或型；2）型：常用取倒數(shù)的手段化為型或型，即：或；取對數(shù)化為基本形式1）型：取對數(shù)得，其中或；2）型：取對數(shù)得，其中或；3）型：取對數(shù)得，其中或。課后習題全解習題3-1★1.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件

2、？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。（1）；（2）。知識點：羅爾中值定理。思路：根據(jù)羅爾定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：（1）∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，∴在上滿足羅爾定理的條件。令得即為所求。（2）∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，∴在上滿足羅爾定理的條件。令，得即為所求。★2.驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。知識點：拉格朗日中值定理。思路：根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，若得到的根則可驗證定理的正確性。解：∵在連續(xù)，在內(nèi)可導，∴在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。又，，∴要使，只要：，∴，使，驗證完畢?！?.已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值

3、定理的條件，試求滿足定理的。解：要使，只要，從而即為滿足定理的?！铩?.試證明對函數(shù)應用拉格朗日中值定理時所求得的點總是位于區(qū)間的正中間。證明：不妨設所討論的區(qū)間為，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，從而有，即，解得，結(jié)論成立?！?.函數(shù)與在區(qū)間上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。知識點：柯西中值定理。思路：根據(jù)柯西中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：∵及在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且在內(nèi)的每一點處有，所以滿足柯西中值定理的條件。要使，只要，解得，即為滿足定理的數(shù)值?！铩铩?.設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且。求證：存在，使。知識點：羅爾中值定理的應用。

4、思路：從結(jié)論出發(fā)，變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導函數(shù)為，然后再利用羅爾中值定理，便得結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問題時常用的方法。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)題意在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，，從而由羅爾中值定理得：存在，使，即。注：輔助函數(shù)的構(gòu)造方法一般可通過結(jié)論倒推，如：要使，只要∴只要設輔助函數(shù)★★7.若函數(shù)在內(nèi)具有二階導函數(shù)，且，證明：在內(nèi)至少有一點，使得。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。證明：∵在內(nèi)具有二階導函數(shù)，∴在、內(nèi)連續(xù)，在、內(nèi)可導，又，∴由羅爾定理，至少有一點、，使得、；又在上連續(xù)，在內(nèi)可導，從而由羅爾中值定理，至少有一點，使得。

5、★★8.若4次方程有4個不同的實根，證明：的所有根皆為實根。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：討論方程根的情況可考慮羅爾中值定理。證明：令則由題意，有4個不同的實數(shù)零點，分別設為，∵在、、上連續(xù)，在、、上可導，又，∴由羅爾中值定理，至少有一點、、使得，即方程至少有3個實根，又三次方程最多有3個實根，從而結(jié)論成立?！铩铩?.證明：方程只有一個正根。知識點：零點定理和羅爾定理的應用。思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結(jié)合零點定理和羅爾定理得出結(jié)論。零點定理往往用來討論函數(shù)的零點情況；羅爾定理往往用來討論導函數(shù)的零點情況。解：令，∵在上連續(xù)，且，，∴由零點定理，至少有

6、一點，使得；假設有兩個正根，分別設為、（），則在在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，從而由羅爾定理，至少有一點，使得，這不可能?！喾匠讨挥幸粋€正根?！铩?0.不用求出函數(shù)的導數(shù)，說明方程有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：討論導函數(shù)的零點，可考慮利用羅爾中值定理。解：∵在、、上連續(xù)，在、、內(nèi)可導，且，∴由羅爾中值定理，至少有一點、、，使得，即方程至少有三個實根，又方程為三次方程，至多有三個實根，∴有3個實根，分別為、、?！铩铩?1.證明下列不等式：（1）；（2）當時，；（3）設，證明；（4）當時，。知識點：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理

7、證明不等式的過程：尋找函數(shù)，通過式子（或）證明的不等式。證明：（1）令，∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導，∴由拉格朗日中值定理，得。（2）令，∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導，∴由拉格朗日中值定理，得，∵，∴，從而當時，。（3）令，∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導，∴由拉格朗日中值定理，得，∵，∴，即，。（4）令，∵在上連續(xù)，在內(nèi)可導，∴由拉格朗日中值定理，得，∵，∴，即當時，?！铩?2.證明等式：.知識點：（為常數(shù)）。思路：證明一個函數(shù)表達式恒等于一個常數(shù)，只要證證明：令，當時，有；當時，有，∴；∴成立?！铩铩?3.證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式，且，則。知識點：