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《羅爾定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（3.1、3.2）3.1名稱條件結(jié)論中值羅爾至少存在定理中值y=f(x)（1）在［a,b］上連續(xù)；（2）在（a,b）一點(diǎn)9（a,b）使得定理內(nèi)可導(dǎo)；（3）f(a)=f(b)0拉格朗日y=f(x)（1）在［a,b］上連續(xù)；（2）在（a,b）至少存在一點(diǎn)上€（a,b）使得中值定理內(nèi)可導(dǎo)f/(9=f(b)-f(a)b—a柯西至少存在中值f(x)、g（x）:（1）在［a,b］上連續(xù)，在（a,b）一點(diǎn)9（a,b）使得定理內(nèi)可導(dǎo)；（2）在（a,b）內(nèi)每點(diǎn)處g/（x）式0f/(9f(b)-f(a)g/(9b—a3.2基本形式洛必工型與—型未定式0旳達(dá)通分
2、或取倒數(shù)化為0DO法則1）血型：常用通分的手段化為上型或_型;基本形式0旳2）0，旳型：常用取倒數(shù)的手段化為0旳上型或一型，即：0旳00亠cQOQO08二二—或08=-—也；1/吆01/0?取對(duì)數(shù)化為000ln0一00基本形式1）0型：取對(duì)數(shù)得°?，其中皿0""“/0QOQQ或0lnOn08=n—1/0比2）100型：取對(duì)數(shù)得儼二e°ln1，其中血In1n0、0=二01/000odO0或吆，In1n二一；1/0處000lnco3）處型：取對(duì)數(shù)得處=e?亠0其中0In嗆二08=二01/°°0odO0或0ln^二08==—。1/0旳課后習(xí)題全解習(xí)題3-1★1.下列
3、函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請(qǐng)求岀滿足定理的數(shù)值。(1)f(x)=2x2-X-3,［_1,1.5］；(2)f(x)=x.3-x［0,3］。知識(shí)點(diǎn)：羅爾中值定理。思路:根據(jù)羅爾定理的條件和結(jié)論，求解方程f/(E)=0，得到的根E便為所求。解:(1)2丁f(x)=2x-x-3在［-1,1.5］上連續(xù)，在(-1,1.5)內(nèi)可導(dǎo)，且f(-1)=f(1.5)=0，???f(x)=2X-X-3在［—1,15］上滿足羅爾定理的條件。令f(E)=4E_1=0得1a(-1,1.5)即為所求。4(2)tf(x)=x.3-x在［0,3］上連續(xù)，在(03)內(nèi)可
4、導(dǎo)，且f(0)=f(3)=0，??f(x)=x?.3-x在［0,3］上滿足羅爾定理的條件。令f(a-廠a-——&0，得a二2(0,3)即為所求。2、3-E★2.驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)y=4x3—5x2…X—2在區(qū)間［0,1］上的正確性。知識(shí)點(diǎn)：拉格朗日中值定理。思路：根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程f(a二f⑴一f(0)，若得到的根E［0,1］1-0則可驗(yàn)證定理的正確性。解:vy=f(x^4x3-5x2x-2在［0,1］連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，二y=4x3—5x2x-2在區(qū)間［0,1］上滿足拉格朗日中值定理的條件。又f(1)=-2,f(0)二一
5、2，f(x)=12x2-10x?1，要使f徉)=f⑴-f(0)=0，只要：?=5蘭用€(01)，1-012'二二鼻衛(wèi)(0,1)，使f(卄也凹，驗(yàn)證完畢。121-0★3.已知函數(shù)f(x)=x4在區(qū)間［1,2］上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的a解軍：要使f(a=f(?：⑴，只要4a=15—-.：，從而a=-(1,2)即為滿足定理的?！铩?.試證明對(duì)函數(shù)y=px2qxr應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的點(diǎn)E總是位于區(qū)間的正中間。證明：不妨設(shè)所討論的區(qū)間為［a,b］，則函數(shù)y=px2?qx?r在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),22f(b)_f(a)前小(
6、pbqbr)_(paqar)從而有f(E)，即2E?q=b—ab—ab+a解得E，結(jié)論成立。232★5.函數(shù)f(x)=x與g(x)=x-1在區(qū)間［1,2］上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請(qǐng)求出滿足定理的數(shù)值E。知識(shí)點(diǎn):柯西中值定理。思路:根據(jù)柯西中值定理的條件和結(jié)論，求解方程■mLf(b)—f(a)，得到的根g(Eg(b)-g(a)解:(1,2)內(nèi)的每一點(diǎn)處有32f(x)二x及g(x)二x1在［1,2］上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且在g(x)=2x=0，所以滿足柯西中值定理的條件。要使丄■迫二f(2)-f(1)，只要莖=-，解g(E)g(2)-g(1)2
7、E314得E(1,2)，E即為滿足定理的數(shù)值。9★★★6.設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0。求證：存在E■(0,1)，使f(E、f(EE知識(shí)點(diǎn):羅爾中值定理的應(yīng)用f(e)思路:從f2E結(jié)論出發(fā)，變形為f2EEf(^)=0，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)為Ef/(x)x?f(x)，然后再利用羅爾中值定理，便得結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問(wèn)題時(shí)常用的方法。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)二xf(x)，F(xiàn)(x)二f(x)?xf(x)根據(jù)題意F(x)二xf(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(1)=1f(1)=0，F(xiàn)(0)=0
8、f(0)=0，從而由羅爾中值定理得：存
