(學(xué)生用)五年級(jí)下數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教材

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1、b第一講立體圖形及展開(kāi)例題選講例1:圖1所示的是一個(gè)正方體紙盒拆開(kāi)后平攤在桌面上的形狀。如果將這個(gè)展開(kāi)圖恢復(fù)成原來(lái)的正方體，圖中的點(diǎn)F、點(diǎn)G分別與哪個(gè)點(diǎn)重合?【分析與解答】為了研究方便，我們將正方體六個(gè)面分別標(biāo)上序號(hào)1、2、3、4、5、6，如果將l作為底面，那么4就是后面，5為右面，6為前面，2則是左面，3就是上面，(如圖2)。從圖中不難看出點(diǎn)F與點(diǎn)N，重合，點(diǎn)G與點(diǎn)S重合。還有一種方法就是動(dòng)手制作一張展開(kāi)圖，折一折，結(jié)果就一目了然了，同學(xué)們不妨試試吧!例2:一只小蟲(chóng)從圖l所示的長(zhǎng)方體上的A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬行，依次經(jīng)過(guò)前面、上

2、面、后面、底面，最后到達(dá)P點(diǎn)。請(qǐng)你為它設(shè)計(jì)一條最短的爬行路線(xiàn)?！痉治雠c解答】因?yàn)樾∠x(chóng)在長(zhǎng)方體的表面爬行，所以我們可以將長(zhǎng)方體的前、后、上、下西個(gè)面展開(kāi)成平面圖形(如圖2)。又因?yàn)樵谄矫嫔稀皟牲c(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng)度最短”，所以連接AP，則線(xiàn)段AP為小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)。練習(xí)與思考1.如圖所示的是一個(gè)正方體紙盒拆開(kāi)后平攤在桌面上的形狀。如果將這個(gè)展開(kāi)圖恢復(fù)成原來(lái)的正方體，圖中的點(diǎn)B、點(diǎn)D分別與哪個(gè)點(diǎn)重合?2.如圖所示的是一個(gè)棱長(zhǎng)3厘米的正方體木塊，一只螞蟻從A點(diǎn)沿表面爬向B點(diǎn)。請(qǐng)畫(huà)出螞蟻爬行的最短路線(xiàn)。問(wèn)：這樣的路線(xiàn)共有幾條?bb3.將一張長(zhǎng)方形

3、硬紙片，剪去多余部分后，折疊成一個(gè)棱長(zhǎng)為l厘米的正方體。這張長(zhǎng)方形硬紙片的面積最小是多少平方厘米?4.一塊長(zhǎng)方形的鐵皮，長(zhǎng)28厘米，在這塊鐵皮的四角各剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的小正方形，然后通過(guò)折疊、焊接做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子。已知這個(gè)盒子的容積是960立方厘米，求原來(lái)長(zhǎng)方形鐵皮的面積。5.如圖所示的是一個(gè)正方體木塊的表面展開(kāi)圖，若在正方體的各面填上數(shù)，使其對(duì)面兩數(shù)之和為7，則A、B、c處填的數(shù)各是多少?6.如圖所示的10個(gè)展開(kāi)圖中，哪些可以做成完整的正方體?7.如圖所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體，四邊形APQC、是長(zhǎng)方體的一個(gè)截面(即過(guò)長(zhǎng)方體上4

4、點(diǎn)A、P、Q、C的平面與長(zhǎng)方體相交所得到的圖形)，P、Q分別為棱A1B1、B1C1，的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诖碎L(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖上，標(biāo)出線(xiàn)段AC、cQ、QP、PA。bb第二講長(zhǎng)方體和正方體的表面積例題選講例1:一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是88平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是以厘米為單位的數(shù)，且都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積?！痉治雠c解答】要求長(zhǎng)方體的表面積，就要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。根據(jù)題意，前面與上面的面積之和是88平方厘米，也就是長(zhǎng)×高+長(zhǎng)x寬=88，即長(zhǎng)×(高+寬)=88因?yàn)殚L(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，我們把88分解質(zhì)因數(shù)得88=1l×2×

5、2×2，依題意，11不能分成兩個(gè)質(zhì)數(shù)和，經(jīng)試驗(yàn)，有兩種情況符合條件，(1)ll×(3+5)：88(2)2×(41+3)一88，因此長(zhǎng)方體的表面積可以有兩種情況。解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。長(zhǎng)方體的表面積：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平例2:如圖，將3個(gè)表面積都是24平方米的正方體木塊粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。【分析與解答】仔細(xì)觀(guān)察圖形，不難看出3個(gè)正方體塊粘成1個(gè)長(zhǎng)方體，共有2個(gè)粘接處，每一處都有2

6、個(gè)面粘在一起，兩處共粘去4個(gè)面，因此粘成的長(zhǎng)方體的表面積等于(6×3—4)個(gè)面的面積，即24÷6×(6x3—4)=56(平方厘米)。例3:如圖所示的是用19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體堆起來(lái)的立體圖形，其中有一些正方體看不見(jiàn)，那么這個(gè)立體圖形的表面積是多少?【分析與解答】仔細(xì)觀(guān)察圖形，雖然這個(gè)立體圖形是不規(guī)則的，但是從前面看到的面與從后面看到的面?zhèn)€數(shù)是相等，同理從左、右看到的面?zhèn)€數(shù)是相等的，從上、下看到的面是一致的，所以這個(gè)立體圖形的表面積等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。練習(xí)與思考1.有一個(gè)長(zhǎng)方體，前

7、面和上面兩個(gè)面面積和為209平方厘米，并且長(zhǎng)、寬、高都是以厘米為單位的數(shù)，且都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。2.將兩個(gè)長(zhǎng)都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，那么這個(gè)大長(zhǎng)方體表面積最大是多少平方厘米?3.如圖所示的是由17個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小正方體拼成的立體圖形，求它的表面積。bb4.有一個(gè)長(zhǎng)方體,長(zhǎng)是8厘米,寬是4厘米，高是6厘米，把它截成棱長(zhǎng)是2厘米的若干個(gè)小正方體，這些小正方體表面積之和比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方厘米?5.如圖，正方體木塊的表面積是36平方分米，把它沿虛線(xiàn)截成體積相等的8個(gè)小正方體木塊，

8、這時(shí)表面積增加多少平方分米?6.如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)是5厘米的立方體，如果它的左上方截去一個(gè)邊長(zhǎng)分別是5厘米，3厘米2厘米的長(zhǎng)方體。那么，它的表面積減少多少平方厘米?7.如圖，有一個(gè)長(zhǎng)4厘米：寬和高都是3厘米的長(zhǎng)方體，以A為