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《泛函2010.11.22》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、研究生泛函分析講義胡建勛￠2￠目目目錄錄錄1預(yù)預(yù)預(yù)備備備知知知識(shí)識(shí)識(shí)11.1度量空間.................................11.2有界線性算子的基本理論........................52廣廣廣義義義函函函數(shù)數(shù)數(shù)與與與Sobolev空空空間間間92.1廣義函數(shù)的概念..............................102.1.1基本空間D............................102.1.2廣義函數(shù)的定義及其收斂性..........
2、.........122.2廣義函數(shù)的運(yùn)算..............................172.3廣義函數(shù)的Fourier變換..........................222.4Sobolev空間與嵌入定理.........................262.5橢圓正則性：L2-理論¤..........................333緊緊緊算算算子子子與與與Fredholm算算算子子子理理理論論論353.1緊算子的定義及基本性質(zhì)....................
3、....353.2Riesz-Schauder理論............................413.2.1幾個(gè)引理.............................413.2.2緊算子的譜............................433.2.3不變子空間............................443.2.4緊算子的結(jié)構(gòu)...........................463.3Fredholm算子理論........................
4、....483.3.1Fredholm二擇一性質(zhì).......................483.3.2Fredholm算子...........................49ALebesgue測測測度度度與與與Lebesgue積積積分分分57A.1Lebesgue測度..............................57A.2可測函數(shù)與Lebesgue積分........................58￠ii￠目錄A.3Lebesgue積分的極限定理..............
5、..........60第第第1章章章預(yù)預(yù)預(yù)備備備知知知識(shí)識(shí)識(shí)1.1度度度量量量空空空間間間定定定義義義1.1設(shè)X是一個(gè)非空集合，稱X為度量空間，如果在X上定義了一個(gè)雙變量的實(shí)值函數(shù)?(x;y)滿足下列三個(gè)條件：(1)?(x;y)?0;(8x;y2X)且?(x;y)=0,x=y;(2)?(x;y)=?(y;x);(8x;y2X);(3)?(x;y)·?(x;z)+?(z;y);(8x;y;z2X).稱?為X上的一個(gè)度量；用(X;?)記帶度量?的度量空間.通常在不會(huì)引起混淆時(shí)用X來簡記度量空間(X;?).
6、注注注設(shè)fxng是度量空間X中的點(diǎn)列，稱x02X為fxng的極限，記為limn!1xn=x0,如果limn!1?(xn;x0)=0.注注注度量空間又稱距離空間.它是一種拓?fù)淇臻g，其上拓?fù)溆芍付ǖ囊粋€(gè)度量（或距離）決定.設(shè)X為度量空間，x02X,A?X.稱B(x0;r)=fx2Xj?(x;x0)7、為A的極限點(diǎn)，如果x0的每個(gè)r-鄰域都含有A中不同于x0的點(diǎn)；而稱x0是A的邊界點(diǎn)如果x0是A的極限點(diǎn)但不是A的內(nèi)點(diǎn)；A的邊界點(diǎn)的全體稱為A的邊界，記為@A.我們還稱A1=SA@A為A的閉包；稱A為閉集，如果A1=A.例例例1.1（Euclid空間Rn）如果對(duì)x=(x;x;￠￠￠;x),y=(y;y;￠￠￠;y)212n12nRn.令Xn21?(x;y)=((xi?yi))2;i=1則(Rn;?)成為一個(gè)度量空間，稱為Euclid空間，記為Rn.例例例1.2(連續(xù)函數(shù)空間C[a;b])區(qū)間[a;b]上的
8、連續(xù)函數(shù)全體記為C[a;b]，按度量?(x;y):=maxjx(t)?y(t)ja·t·b形成度量空間(C[a;b];?),以后簡記為C[a;b].定定定義義義1.2設(shè)A是度量空間X的子集，如果對(duì)A的任意開覆蓋都有有限的子覆蓋，則稱A為緊集；如果A的閉包A1是緊的，則稱A是相對(duì)緊的或者致密的.￠2￠第1章預(yù)備知識(shí)定定定理理理1.1A?X是度量空間X中緊集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)A中的每個(gè)點(diǎn)列fxng,存在子列fxnkg使得fxnkg在A中有極限.定定定義
