泛函和泛函的極值

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1、泛函和泛函的極值泛函是指某一個(gè)量，它的值依賴于其它一個(gè)或者幾個(gè)函數(shù)。變分法的基本問題是求解泛函的極值。作為變分法的簡單例題?？疾靫,y平面上連接兩個(gè)定點(diǎn)的所有曲線中，求滿足邊界條件的任意曲線y(x)中最短曲線。設(shè)P1（x1，y1）和P2（x2，y2）為平面上給定的兩點(diǎn)，y（x）為連接兩點(diǎn)的任意曲線。于是，這一曲線的長度為???連接P1，P2兩點(diǎn)的曲線有無數(shù)條，每一條曲線都有一個(gè)L值與其對應(yīng)。滿足邊界條件的y（x）稱為容許函數(shù)，問題是要從這些曲線，容許函數(shù)中找出使得曲線長度L最小的一條。根據(jù)上式，L[y]依賴于y（x），而y（x）是x的函數(shù)，因此稱y（x）為自變函數(shù)；L[y]是倚賴于自變函數(shù)的函

2、數(shù)，稱為泛函。求解最短程線問題，即在滿足邊界條件在x=x1時(shí)，y（x）=y1??y'（x1）=y'1在x=x2時(shí)，y（x）=y2??y'（x1）=y'1的函數(shù)y（x）中，求使得泛函L[y]為極值的特定函數(shù)。因此y（x）稱為容許函數(shù)。???上述問題應(yīng)用變分法可以概括為求解泛函?在邊界條件y（x1）=y1,?y（x2）=y2的極小值問題。假設(shè)函數(shù)y（x）是使得泛函L[y]為最小的特定函數(shù)（真實(shí)的）。變分法有興趣研究的是鄰近于y（x）的任意容許函數(shù)引起泛函L[]的改變。設(shè)其中e為小參數(shù)，而h(x)為邊界值為零的任意函數(shù)。當(dāng)x固定時(shí)，容許函數(shù)與y（x）的差dy稱為泛函自變函數(shù)的變分，即類似地，容許函數(shù)

3、的斜率與y（x）斜率的差dy',稱為泛函自變函數(shù)斜率的變分，即應(yīng)該注意dy與函數(shù)y（x）的微分dy之間的差別，dy是自變量x的改變量dx引起的y（x）的無窮小增量。而變分dy是y（x）的任意一個(gè)微小的改變量。設(shè)泛函增量按泰勒級數(shù)展開，則設(shè)泛函的增量由泛函的變分表示，有分別定義為泛函的一階，二階或k階變分，分別為e的一次，二次或者k次齊次式。???根據(jù)假設(shè)，y（x）是使得泛函J[y]為最小的特定函數(shù)。從而泛函增量DJ大于零。注意到當(dāng)參數(shù)e減小時(shí)，函數(shù)趨近于y（x），泛函增量DJ趨近于零。???首先討論泛函J[y]為極值的條件，考慮泛函增量各項(xiàng)相對量階的大小。由于一階變分dy與小參數(shù)e成正比，而二

4、階變分d2y與小參數(shù)e2成正比，一般的講，而k階變分dky與小參數(shù)ek成正比。因此，當(dāng)e充分小時(shí)，二階以上各項(xiàng)變分與一階變分dJ比較，可以忽略不計(jì)。所以，泛函增量DJ趨近于零的條件為DJ=0???在泛函極值條件確定后，如果分析泛函的極值是最小值還是最大值，需要考慮泛函的二階變分d2J。在泛函極值條件確定后，如果分析泛函的極值是最小值還是最大值，需要考慮泛函的二階變分。因?yàn)闈M足極值條件時(shí)???由于二階變分d2J與小參數(shù)e成正比，而k階變分dkJ與小參數(shù)ek成正比。因此，當(dāng)e充分小時(shí)，三階以上變分與二階變分d2J比較，可以忽略不計(jì)。因此，如果d2J≥0，則DJ＞0，泛函J[y]為極小值的；反之，如

5、果d2J≤0，則DJ＜0，泛函J[y]為極大值的。???因此可以得出結(jié)論，泛函J具有極值的條件是其一階變分dJ=0，如果二階變分d2J是正定的，則此極值是最小值；如果二階變分d2J是負(fù)定的，則此極值是最大值。???上述條件為泛函極值的充分條件。以下討論泛函J[y]極值的必要條件。???對于泛函J[y]的一階變分???????????由于變分dy和dy'不是獨(dú)立無關(guān)的，因此上式第二項(xiàng)積分可以寫作回代則回代，則???由于函數(shù)y（x）在P1，P2兩點(diǎn)的值為已知，dy=在這兩點(diǎn)不可能有變化，即在x=x1和x=x2時(shí)，dy=0，所以???由于dy在區(qū)間（x1,x2）是x的任意函數(shù),所以上式成立的必要條件

6、為積分函數(shù)在區(qū)間（x1,x2）內(nèi)為零。即y（x）能使得泛函為最大或者最小的必要條件是???上式稱為歐拉(Euler)方程。求解此方程并且利用相應(yīng)的邊界條件,就可以確定y（x）。歐拉方程僅僅是泛函極值存在的必要條件，并不是充分條件。如果要確定泛函J為極大值或者極小值，還需要判斷其二階變分d2J大于還是小于零。例題III-1已知泛函滿足邊界條件，試求泛函在什么曲線上取極值。解：?歐拉方程為???????????????????通解????????????????????????????根據(jù)邊界條件，可得：???????????????C=0，D=1?所以??????????????????????

7、????????即泛函在正弦函數(shù)曲線上達(dá)到極值。