《泛函的極值》word版

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1、第2章泛函的極值在討論泛函的極值以前,我們先來回顧一下函數(shù)的極值問題。2.1函數(shù)的極值性質(zhì)2.1.1函數(shù)的連續(xù)性任意一個(gè)多元函數(shù),,如果,當(dāng)(或者說)時(shí),有那么,我們稱在處是連續(xù)的,記為。2.1.2函數(shù)的可微性更進(jìn)一步,如果存在,使得那么我們稱在處是可微的,或者說存在(一階)導(dǎo)數(shù),記為或者記為其中為梯度算子(或者Hamilton算子,見附1)。同理,可以定義該函數(shù)的兩階導(dǎo)數(shù)及更高階導(dǎo)數(shù)。這里也稱為Jacobi矩陣。如果函數(shù)在某點(diǎn)足夠光滑,那么我們就可以在該點(diǎn)附近把函數(shù)作以下的展開其中為高階小量,分別為函數(shù)的一階微分和兩

2、階微分。26換個(gè)角度來看,如果其中為的線性函數(shù),而為的兩次函數(shù),那么為的一階微分,為的兩階微分。2.1.3函數(shù)的極值對(duì)于足夠小的,如果，總有,那么我們稱在有極大值。如果，總有,那么我們稱在有極小值。這里為的鄰域。如果在某一點(diǎn)附近足夠光滑,那么在有極值的必要條件為或者說更進(jìn)一步,如果,那么在有極大(小)值的充分條件為或者說是其中表示是負(fù)定矩陣。2.2泛函的極值2.2.1函數(shù)的鄰域定義在區(qū)間上的函數(shù)的一階鄰域定義為:對(duì)于,始終滿足我們稱同時(shí)滿足上述兩式的函數(shù)的集合是的一階鄰域。同樣可以定義函數(shù)的高階鄰域。2.2.2泛函的極

3、值變分引理:如果函數(shù),對(duì)于在上滿足的、足夠光滑的任意函數(shù),如果總是成立那么在必有26證明:用反證法。假設(shè)有使得,不失一般性設(shè)。由,一定存在,使這樣我們總可以構(gòu)造下面一個(gè)連續(xù)函數(shù)其中可以證明這樣顯然與引理?xiàng)l件矛盾,所以對(duì)于任意的都有以上結(jié)果容易推廣到二維或更高維的情形。如果泛函在的一階鄰域內(nèi)都不大(小)于,那么我們稱泛函在有極大(小)值。也就是說,（2.2.1）使取到極值的函數(shù)稱為極值函數(shù)。下面從最簡單的泛函來討論使泛函取到極值的必要條件。如果使取到極值,則對(duì)于的一階鄰域內(nèi)的函數(shù)應(yīng)有或者現(xiàn)在用變分引理導(dǎo)出泛函取極值的必要

4、條件。取由于,因此當(dāng)足夠小的時(shí)候,屬于的鄰域。當(dāng)以及給定以后,應(yīng)該是關(guān)于的函數(shù)26因?yàn)樵谔幦O值,應(yīng)該是的極值點(diǎn)。根據(jù)函數(shù)極值的必要條件這就意味著如果令那么有考慮到的任意性，根據(jù)變分引理有（2.2.2）這就是該泛函極值問題的Euler方程。如果只限定、而放松處的要求，則定義域（2.2.3）若是泛函在上的極值，限定則必是泛函在上的極值，根據(jù)（2.2.2）有(2.2.4)代入（2.2.3）并考慮的任意性可得(2.2.5)要使在處取極值,那么意味著必須同時(shí)滿足（2.2.4）和（2.2.5）對(duì)于更一般的泛函我們同樣可以得到下面

5、的泛函極值定理。定理2.1如果泛函在上達(dá)到極值，那么泛函在上的一階變分滿足證明：根據(jù)泛函極值的定義，如果泛函在上達(dá)到極大值,那么必定存在的一個(gè)領(lǐng)域,對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)的任何一個(gè)函數(shù),使得泛函的增量不變號(hào),由前面的推導(dǎo)(1.4.6)26其中顯然,當(dāng)充分小時(shí),的符號(hào)由部分確定。如果,我們總是可以調(diào)整的符號(hào)使得改變符號(hào),這與假設(shè)矛盾。因此是泛函有極值的必要條件。盡管不是泛函有極值的充分條件，但往往仍有意義。對(duì)于僅僅滿足的泛函，我們稱在該點(diǎn)取駐值。2.2.3泛函的Euler方程由泛函所得到的微分方程（包括邊界條件）稱為泛函的Eule

6、r方程。例2.1的Euler方程為例2.2得到上式稱為Sturm-Liouville方程。結(jié)合邊界條件,構(gòu)成第一邊值問題的Sturm-Liouville問題。例2.3上述泛函可以寫成其一階變分為26根據(jù)格林公式有當(dāng)邊界上值給定時(shí),，可以得到相應(yīng)的Euler方程這是一個(gè)Laplace方程。如果只在部分邊界上給定函數(shù)值，這里，則除上述的Laplace方程外還應(yīng)滿足例2.4其中及其法向?qū)?shù)在的邊界上給定。泛函的一階變分為由于根據(jù)格林公式,由于及其法向?qū)?shù)在的邊界上給定,即，所以有從而當(dāng)泛函取極值時(shí),根據(jù)變分引理1得到也就是這

7、是一個(gè)雙調(diào)和方程。26例2.5其中在一部分邊界（）上給定：。泛函可以寫成其一階變分為當(dāng)泛函取極值時(shí),根據(jù)變分引理2得到對(duì)應(yīng)的Euler方程為這是一個(gè)Poisson方程。2.3泛函的條件極值問題2.3.1函數(shù)的條件極值問題與Lagrange乘子假設(shè)求極值的函數(shù)為相應(yīng)的約束條件為（2.3.1）首先,自變量的微分必須滿足約束條件,也就是說這意味著（2.3.2）也就是說必須與每個(gè)約束函數(shù)的梯度正交。對(duì)于極值函數(shù),如果在某點(diǎn)的梯度滿足那么,沿著滿足約束條件的方向有該點(diǎn)也就是條件極值點(diǎn)。反之,如果要求沿著滿足約束條件的方向有26必

8、須有這樣,就有（2.3.3）而（2.3.4）所以對(duì)于約束極值問題,我們可以通過引進(jìn)拉格朗日乘子來構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，可以把原來的條件極值問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的無條件極值問題。2.3.2存在代數(shù)約束下的泛函極值泛函為（2.3.5）約束條件（2.3.6）注意∶上述約束是上的恒等式，所以引入的是Lagrange函數(shù)、而不是Lagrange乘子