06 常微分方程的數值求解new

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1、第六章常微分方程數值解§6.0引言§6.1歐拉方法§6.2龍格-庫塔方法§6.3單步法的收斂性和穩(wěn)定性§6.4線性多步法11§6.0引言1主要考慮如下的一階常微分方程初值問題的求解：?dy=f()xy,??dx??y()xy=00??微分方程的解就是求一個函數y=x()，使得該函數滿足微分方程并且符合初值條件。222例如微分方程：xy-y=x′24初始條件：(1)=-3y于是可得一階常微分方程的初始問題?2y?y′=+4?x??y(1)=?32顯然函數y()x=x-x4滿足以上條件,因而是該初始問題的微分方程的解。333但是，只有一些特殊類型的微分方程問題能

2、夠得到用解析表達式表示的函數解，而大量的微分方程問題很難得到其解析解，有的甚至無法用解析表達式來表示。因此，只能依賴于數值方法去獲得微分方程的數值解。444微分方程的數值解：設微分方程問題的解y(x)的存在區(qū)間是[a,b]，初始點x=a，將[a,b]進行劃分得一系列節(jié)點x,x,...,001x，其中a=x

3、數值值值方方方法法法的的的基基基本本本思思思想想想與與與實實實現現現途途途徑徑徑1.數數數值值值方方方法法法的的的思思思想想想(1)第第第一一一步步步,把把把區(qū)區(qū)區(qū)間間間[a;b]進進進行行行劃劃劃分分分,通通通常常常進進進行行行m等等等分分分,設設設節(jié)節(jié)節(jié)點點點a=x0

4、函函數數數.(3)第第第三三三步步步,根根根據據據需需需要要要可可可由由由以以以前前前的的的插插插值值值方方方法法法求求求得得得插插插值值值點點點為為為x的的的函函函數數數y(x)的的的近近近似似似值值值,或或或由由由列列列表表表函函函數數數求求求得得得y=y(x)的的的近近近似似似函函函數數數.說說說明明明:由由由此此此可可可知知知初初初值值值問問問題題題數數數值值值解解解法法法的的的關關關鍵鍵鍵在在在于于于如如如何何何由由由y(x0)的的的值值值得得得到到到y(tǒng)(x1)的的的值值值y1,更更更一一一般般般地地地如如如何何何由由由y(xi)的的的近近近似似似

5、值值值yi得得得到到到y(tǒng)(xi+1)的的的近近近似似似值值值yi+1.362.從從從yi得得得到到到y(tǒng)i+1的的的幾幾幾種種種途途途徑徑徑1)化化化導導導數數數為為為差差差商商商的的的方方方法法法由由由000yi+1?yiy(xi)=f(xi;y(xi))及及及y(xi)?可可可得得得h8>:y(x0)=y0即即即yi+1=yi+hf(xi;yi);i=0;1;2;￠￠￠;m?1:472)Taylor展展展開開開法法法由由由hp0(x(p)y(xi+1)?y(xi)+hyi)+￠￠￠+y(

6、xi)p!將將將80>>y(xi)=f(xi;y(xi))>i)=fx(xi;y(xi))+fy(xi;y(xi))y(xi):￠￠￠代代代入入入上上上式式式,并并并用用用yi+1;yi分分分別別別作作作為為為y(xi+1);y(xi)的的的近近近似似似,可可可得得得y200i+1=yi+hf(xi;yi)+h(fx(xi;yi)+fy(xi;yi)f(xi;yi))=2+￠￠￠583)數數數值值值積積積分分分法法法把把把微微微分分分方方方程程程y0=f(x;y)在在在區(qū)區(qū)區(qū)間間間[xi;xi+1]上上上求求求積積積分分分便便便得得得Zx

7、i+1y(xi+1)?y(xi)=f(x;y(x))dxxi于于于是是是有有有8Z>:y(x0)=y04)基基基于于于微微微分分分中中中值值值定定定理理理由由由690(?)h=f(?;y(?))h;?2(xy(xi+1)?y(xi)=yi;xi+1)只只只要要要給給給出出出f(?;y(?))的的的適適適當當當近近近似似似就就就可可可得得得相相相應應應的的的方方方法法法.三三三幾幾幾個個個基基基本本本概概概念念念1.單單單步步步法法法:為為為了了了求求求得得得微微微分分分方方方程程程在在在點點點xi+1上上

8、上的的的數數數值值值解解解yi+1,只只只要要要知知