高階常微分方程的數(shù)值求解

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1、高階常微分方程的數(shù)值求解'谷照升（長春工程學(xué)院理學(xué)院，長春，130012）摘要對(duì)經(jīng)典初始條件的高階常微分方程，給出其數(shù)值求解方法。該方法比Runge-Kutta法具冇更好的適應(yīng)性、易用性、計(jì)算速度和可控制的更高精度。關(guān)鍵詞常微分方程；數(shù)值解：算法中圖分類號(hào)：0241.81文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A1引言求解復(fù)雜的1階常微分方程，通常只能采用數(shù)值解法。數(shù)值解法一般又以Runge-Kutta法為主。對(duì)高階常微分方程，則通常是將其轉(zhuǎn)化為1階常微分方程組，再用Runge-Kutta法求解⑴％但這種通用性方法，在精度、軟件計(jì)算的適應(yīng)度方面，常

2、常不夠理想，英至得不到結(jié)果。針對(duì)不同的廣普性方程類型，可以建立更具針對(duì)性的計(jì)算方法。例如，針對(duì)三類邊值條件和特定形式的方程，己經(jīng)有有相應(yīng)的差分法和有限元法。每一種更具針對(duì)性的方法，都有其更髙的楮度和更為健壯的算法，當(dāng)然也存在其必然的局限性。木文對(duì)如下形式的2階常微分方程^-j-+tz（x）-y-+Z?（x）y=/（X）dx^ax

3、%.-x,.,o從匸1開始，利用數(shù)值積分公式,通過［冷旬上的數(shù)值積分，先求f（￡）,再求出y'a）,最后求yg）。依次取匸2,3,…川得到各點(diǎn)y"（兀J、?/（兀）、y（Q的近似值。根據(jù)數(shù)值積分的算法不同，主要有兩種不同的計(jì)算公式。2?1、矩形數(shù)值積分算法矩形算法形式簡(jiǎn)單，粕度偏低?；诓煌姆e分形式，乂可以得到3種不同的計(jì)算公式，其精基金項(xiàng)目：吉林省自然科學(xué)基金項(xiàng)H（201215115）度無顯著差別。此處僅給出與2.2梯形算法最為接近的一種。利用/（%,）一：/（￡?_］）=fyx）dx=yxi）^xiJxi-丿

4、（兀）-y（s）=￡yx）dx?yxi}xi在x{點(diǎn)得到y(tǒng)（x,）?yXi）Ax；+ya-）⑵yU,）=/（乞）心「+^（^-i）=fa）山「+y（兀-）心,+刃"“）（3）這里i=1,2,...,no將（2）、（3）代入（1）,在兀點(diǎn)得到/（xJ+^Jt/Cx^Ax.+y（G）］+〃（兀J［Axi）Ax：+/（%,_））Ax,.+y（G）］=fg從而/（v）=/a）一aa）y（?j-"兀）2（心

5、）心,+刃兀―卄（4）z1+a（xi）xi+b（xj$算法：Step1:z=l;將⑴中y（兀o）=兒、/（xo）=

6、ya代入⑷，輸出y"3）;將y"（兀i）代入⑵，輸岀y'a）；収y（K）=：/（兀0）心1+y（xo）?輸出y（x）°Step2:whilei

7、）/（“）+y"（G）

8、A

9、xy,y（兀）一y（￡_］）=J：yx）dx=^［/（%,）+yXx^）］A￥Z,則兀點(diǎn)滿足：/（￡）=*［y"（￡）+y"（兀I）］Ar,+y（￡_1）（6）ya）=*［ya）+）‘S-J*+〉"-】）=-{-［/U/）+y"a_］）］Ax,+y（兀_

10、）+yXx^）}Ax,.+y（xi_］）（7）=-y（兀）心；+-ya_i+y（Vi/+ydi），將⑹、（7）代入（1）,得到ZU）+c心j）+/（%；_!）］Ar,.+y（“）}+〃（兀）1+/（xJAx/++y"（兀T）Axj+y（%/i）Ax.+^^）］=/（x

11、,）從而/（“）一a（兀）丄y（兀T）心,+y（￡_］）］—“￡?）［：y"（兀T）心；+yXx^）Sxi+y（￡_

12、）］玖戈”2j嚴(yán)一⑻1+—a（xi）xi+—b（￡）山「2i=1,2,3,…丿算法：Step1:按（5）式求出/（x0）oStep2:匸0;whilei

13、，?二兀-兀i（實(shí)際計(jì)算中，步長通常是取定的，不隨i變化），在矩形算法中，根據(jù)（3）式，誤差的階為0（/?）o在梯形算法中，根據(jù)（7）式，誤差的階仍為0（h雖然兩種方法誤差的階是相同的，但由于在數(shù)值微積分屮，沒有可以確定的絕對(duì)謀差與相對(duì)謀差，所以僅憑謀羌的階還不能完全說明實(shí)際誤差水平。本文算法對(duì)力、y（%i）、#（