常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用5new

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1、萬方數(shù)據(jù)第“卷第11期V01．24No．1l荊楚理工學(xué)院學(xué)報JournalofJingchuUniversityofTechnology2009年11月Nov．2009常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用肖勇(寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共基礎(chǔ)部，福建福安355000)[摘要】文章深入探究了常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，闡述了常微分方程的發(fā)展和數(shù)學(xué)建模，并結(jié)合二者的特點與相關(guān)常微分方程在數(shù)學(xué)建模的例子，總結(jié)出常微分方程在數(shù)學(xué)建模的如何應(yīng)用及學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意的事項。[關(guān)鍵詞】教學(xué)建模；常微分方程[中圖分類號]0241．81[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號】1008—4657(2009)11-0050—

2、031數(shù)學(xué)建模簡介對復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行分析，用數(shù)學(xué)語言來描述其中的關(guān)系或規(guī)律，抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系，并將其實際問題轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學(xué)問題，同時運用數(shù)學(xué)系統(tǒng)的知識方法對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解，對現(xiàn)實問題作出解釋的過程，這就是數(shù)學(xué)建模?。與數(shù)學(xué)不同，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程不僅要對復(fù)雜的問題進(jìn)行提煉、歸納和總結(jié)而且還應(yīng)進(jìn)行演繹推理。所以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程也是一個演繹推理與歸納總結(jié)相結(jié)合的過程。對現(xiàn)實問題的觀察、假設(shè)、歸納，怎樣將其化為一個數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵。但這僅僅是數(shù)學(xué)建模的開始，完整的數(shù)學(xué)建模過程還應(yīng)求解數(shù)學(xué)問題并能得到所要求的解。同時還應(yīng)看到得出的解是否與數(shù)據(jù)或?qū)嶋H經(jīng)驗相吻合，是否能解釋

3、實際問題；否則，還應(yīng)重新修正。2常微分方程和數(shù)學(xué)建模結(jié)合的特點通常在建立對象的動態(tài)模型時，應(yīng)對不同的實際對象建立不同的并與之相適合的數(shù)學(xué)模型。首先要具體的問題具體分析對建模的目的應(yīng)該做出簡化的假設(shè)，而后還要依照對可以類比的其它對象的規(guī)律或者其對象內(nèi)在的微分方程進(jìn)行解題并求出這一方程的解，這樣才能將其結(jié)果反饋回實際的對象，然后再進(jìn)行預(yù)測或控制，描述與分析。數(shù)學(xué)建模也是一個分析問題、解決問題的創(chuàng)造性思維過程，它的內(nèi)容來自于實踐、結(jié)果應(yīng)用于實踐、方法結(jié)合于實踐【2J，因此要選準(zhǔn)切人點，才能有機地結(jié)合常微分方程的內(nèi)容，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想意圖。數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)不可能立竿見影，而是

4、一個長期的過程。而要我們腳踏實地認(rèn)真去工作和鉆研，純粹數(shù)學(xué)的能力和數(shù)學(xué)建模能力是截然不同的，數(shù)學(xué)建模能力需要長期培養(yǎng)和鍛煉才能形成。應(yīng)用微分方程理論在實際解決問題的過程中建立的數(shù)學(xué)模型，一般是動態(tài)數(shù)學(xué)模型，其結(jié)果極其簡明，但整個推導(dǎo)過程卻有點繁雜，不過還是能給人們以合理的解釋。由此筆者認(rèn)為有機地將數(shù)學(xué)建模與常微分方程結(jié)合，必定能使常微分方程在實際應(yīng)用過程中發(fā)揮更多更好的作用，以便能解決更多的實際問題，產(chǎn)生更好效益。3常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用在碰到實際問題時，應(yīng)建立研究對象的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型首先應(yīng)具體問題具體分析，對建立[收稿日期]2009一08—22【作者簡介]肖勇

5、(1967一)，女，福建福安人，寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院高級講師。研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)。萬方數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)模型的目的應(yīng)作相應(yīng)的假設(shè)和簡化，而后依照其內(nèi)在規(guī)律羅列出這種微分方程，求出其方程的解。并將其結(jié)果進(jìn)行描述、分析、預(yù)測或控制，最后回到實際對象中應(yīng)用。下面介紹幾個微分方程建模的典型例子。3．1常微分方程在新產(chǎn)品推廣模型中的應(yīng)用假設(shè)市場上要推出一新產(chǎn)品，t時刻的銷量為X(t)，新產(chǎn)品性能優(yōu)良質(zhì)量好，所以產(chǎn)品本身就是宣傳品。因而，t時刻產(chǎn)品銷量的增量dx／dt與x(t)成正比，還應(yīng)想到新產(chǎn)品銷售有一定穩(wěn)定的市場容量N，結(jié)果統(tǒng)計表明，dx／dt與尚未購買該新產(chǎn)品的顧客潛在的銷售數(shù)量N—x(t

6、)也成正比，因此就有以下邏輯斯諦模型dx／dt=l【)【(N—x)，其中常數(shù)k>0為比例系數(shù)，分離變量、積分，可以解得邏輯斯諦曲線m)=奇持。由寶=器及霧=號魯艫，當(dāng)o0僦是新產(chǎn)品銷量x(t)單調(diào)也增加；當(dāng)x(t’)=孚時，麗d2x=0；當(dāng)x(t’)>孚時，麗d2x<0；當(dāng)x(t’)<孚時，臺>0，也就是當(dāng)新產(chǎn)品銷量達(dá)到消費者最大需求量N的一半時，新產(chǎn)品暢銷最佳；當(dāng)新產(chǎn)品銷量不足N一半時，新產(chǎn)品銷售速度不斷增加；當(dāng)新產(chǎn)品銷量超過一半時，新產(chǎn)品銷量速度就會慢慢減少。由此很多經(jīng)濟學(xué)專家和產(chǎn)品銷售人士調(diào)查得出，許多新產(chǎn)品的銷售曲線與邏輯斯諦曲線是相當(dāng)

7、接近的。從而可以深入對新產(chǎn)品的銷售曲線性狀進(jìn)行分析，得出新產(chǎn)品在推出銷售的前期要采取小量地生產(chǎn)，同時多加強宣傳和廣告力度，而當(dāng)新產(chǎn)品消費者達(dá)到20％一80％之間時，新產(chǎn)品就可以大量的生產(chǎn)；當(dāng)新產(chǎn)品消費者超過80％時候，那么企業(yè)就應(yīng)選擇適當(dāng)時機轉(zhuǎn)產(chǎn)，以求達(dá)到企業(yè)更好的效益。3．2常微分方程在動力學(xué)模型中的應(yīng)用動力學(xué)的基本定律是第二定律f=m，而動力學(xué)是微分方程源泉之一。因此微分方程可以用來解決動力學(xué)的基本關(guān)系式。人們都很清楚影響物體自由降落的兩大因素是空氣阻力和重力作用，所以物體下落速度與空氣阻力成反比，