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《常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第24卷第11期荊楚理工學(xué)院學(xué)報(bào)2009年11月Vo.l24No.11JournalofJingchuUniversityofTechnologyNov.2009常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用肖勇(寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共基礎(chǔ)部,福建福安355000)[摘要]文章深入探究了常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用,闡述了常微分方程的發(fā)展和數(shù)學(xué)建模,并結(jié)合二者的特點(diǎn)與相關(guān)常微分方程在數(shù)學(xué)建模的例子,總結(jié)出常微分方程在數(shù)學(xué)建模的如何應(yīng)用及學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意的事項(xiàng)。[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;常微分方程[中圖分類號(hào)]O241.81[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]1008-4657(2009)1
2、1-0050-031數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介對(duì)復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行分析,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述其中的關(guān)系或規(guī)律,抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系,并將其實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,同時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)系統(tǒng)的知識(shí)方法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解,對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題作出解釋[1]的過(guò)程,這就是數(shù)學(xué)建模。與數(shù)學(xué)不同,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程不僅要對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行提煉、歸納和總結(jié)而且還應(yīng)進(jìn)行演繹推理。所以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程也是一個(gè)演繹推理與歸納總結(jié)相結(jié)合的過(guò)程。對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的觀察、假設(shè)、歸納,怎樣將其化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵。但這僅僅是數(shù)學(xué)建模的開(kāi)始,完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程還應(yīng)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題并能得到所要求的解。同時(shí)還應(yīng)看到得出的解是否與數(shù)據(jù)或?qū)嶋H經(jīng)
3、驗(yàn)相吻合,是否能解釋實(shí)際問(wèn)題;否則,還應(yīng)重新修正。2常微分方程和數(shù)學(xué)建模結(jié)合的特點(diǎn)通常在建立對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型時(shí),應(yīng)對(duì)不同的實(shí)際對(duì)象建立不同的并與之相適合的數(shù)學(xué)模型。首先要具體的問(wèn)題具體分析對(duì)建模的目的應(yīng)該做出簡(jiǎn)化的假設(shè),而后還要依照對(duì)可以類比的其它對(duì)象的規(guī)律或者其對(duì)象內(nèi)在的微分方程進(jìn)行解題并求出這一方程的解,這樣才能將其結(jié)果反饋回實(shí)際的對(duì)象,然后再進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制,描述與分析。數(shù)學(xué)建模也是一個(gè)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的創(chuàng)造性思維過(guò)程,它的內(nèi)容來(lái)自于實(shí)踐、結(jié)果應(yīng)用于實(shí)踐、[2]方法結(jié)合于實(shí)踐,因此要選準(zhǔn)切入點(diǎn),才能有機(jī)地結(jié)合常微分方程的內(nèi)容,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想意圖。數(shù)學(xué)建模思想的培
4、養(yǎng)不可能立竿見(jiàn)影,而是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。而要我們腳踏實(shí)地認(rèn)真去工作和鉆研,純粹數(shù)學(xué)的能力和數(shù)學(xué)建模能力是截然不同的,數(shù)學(xué)建模能力需要長(zhǎng)期培養(yǎng)和鍛煉才能形成。應(yīng)用微分方程理論在實(shí)際解決問(wèn)題的過(guò)程中建立的數(shù)學(xué)模型,一般是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型,其結(jié)果極其簡(jiǎn)明,但整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程卻有點(diǎn)繁雜,不過(guò)還是能給人們以合理的解釋。由此筆者認(rèn)為有機(jī)地將數(shù)學(xué)建模與常微分方程結(jié)合,必定能使常微分方程在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中發(fā)揮更多更好的作用,以便能解決更多的實(shí)際問(wèn)題,產(chǎn)生更好效益。3常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用在碰到實(shí)際問(wèn)題時(shí),應(yīng)建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型首先應(yīng)具體問(wèn)題具體分析,對(duì)建立[收稿日期]2009-0
5、8-22[作者簡(jiǎn)介]肖勇(1967-),女,福建福安人,寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院高級(jí)講師。研究方向:高等數(shù)學(xué)教學(xué)。50數(shù)學(xué)模型的目的應(yīng)作相應(yīng)的假設(shè)和簡(jiǎn)化,而后依照其內(nèi)在規(guī)律羅列出這種微分方程,求出其方程的解。并將其結(jié)果進(jìn)行描述、分析、預(yù)測(cè)或控制,最后回到實(shí)際對(duì)象中應(yīng)用。下面介紹幾個(gè)微分方程建模的典型例子。3.1常微分方程在新產(chǎn)品推廣模型中的應(yīng)用假設(shè)市場(chǎng)上要推出一新產(chǎn)品,t時(shí)刻的銷量為x(t),新產(chǎn)品性能優(yōu)良質(zhì)量好,所以產(chǎn)品本身就是宣傳品。因而,t時(shí)刻產(chǎn)品銷量的增量dx/dt與x(t)成正比,還應(yīng)想到新產(chǎn)品銷售有一定穩(wěn)定的市場(chǎng)容量N,結(jié)果統(tǒng)計(jì)表明,dx/dt與尚未購(gòu)買該新產(chǎn)品的顧客
6、潛在的銷售數(shù)量N-x(t)也成正比,因此就有以下邏輯斯諦模型dx/dt=kx(N-x),其中常數(shù)k>0為比例系數(shù),分離變量、積分,可以解得邏輯斯諦曲線Nx(t)=-KN。1+Cet2-KNt222-KNt-KNtdxcNkedxcKNe(Ce-1)*由=-KNt2及2=-KNt3,當(dāng)00,也就是新產(chǎn)dt(1+Ce)dt(1+Ce)222*Ndx*Ndx*Ndx品銷量x(t)單調(diào)也增加;當(dāng)x(t)=時(shí),2=0;當(dāng)x(t)>時(shí),2<0;當(dāng)x(t)<時(shí),t>0,也2dt2dt2dt就是當(dāng)新產(chǎn)品銷量達(dá)到消費(fèi)者最大需求量N的一半時(shí),新產(chǎn)品暢銷最佳;當(dāng)新產(chǎn)品
7、銷量不足N一半時(shí),新產(chǎn)品銷售速度不斷增加;當(dāng)新產(chǎn)品銷量超過(guò)一半時(shí),新產(chǎn)品銷量速度就會(huì)慢慢減少。由此很多經(jīng)濟(jì)學(xué)專家和產(chǎn)品銷售人士調(diào)查得出,許多新產(chǎn)品的銷售曲線與邏輯斯諦曲線是相當(dāng)接近的。從而可以深入對(duì)新產(chǎn)品的銷售曲線性狀進(jìn)行分析,得出新產(chǎn)品在推出銷售的前期要采取小量地生產(chǎn),同時(shí)多加強(qiáng)宣傳和廣告力度,而當(dāng)新產(chǎn)品消費(fèi)者達(dá)到20%~80%之間時(shí),新產(chǎn)品就可以大量的生產(chǎn);當(dāng)新產(chǎn)品消費(fèi)者超過(guò)80%時(shí)候,那么企業(yè)就應(yīng)選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)轉(zhuǎn)產(chǎn),以求達(dá)到企業(yè)更好的效益。3.2常微分方程在動(dòng)力學(xué)模型中的應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的基本定律是第二
