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《常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用6new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、萬方數(shù)據(jù)第28卷第4期2009年4月數(shù)學(xué)教學(xué)研究57常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用郭爽1侯麗英2李秀麗1I．大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，黑龍江大慶163712；2．黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)數(shù)學(xué)系，黑龍江大慶163319摘要：微分方程模型在自然科學(xué)中的應(yīng)用主要以物理、力學(xué)、化學(xué)、控制論等客觀規(guī)律為基礎(chǔ)建立起來，而在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等方面的應(yīng)用也越來越廣泛．本文闡述常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的作用，介紹了解決實(shí)際問題的3種方法．關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；徽分方程中圖分類號(hào)：0175．1常微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設(shè)的基礎(chǔ)課程，常微分方程與微積分是同時(shí)產(chǎn)生的，一開始就成為人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的有力工
2、具，隨著生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，該學(xué)科已經(jīng)演變發(fā)展為數(shù)學(xué)學(xué)科理論中理論聯(lián)系實(shí)踐的一個(gè)重要分支．在力學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、自動(dòng)控制和經(jīng)濟(jì)管理等各個(gè)學(xué)科中，都能找到它的影子．隨著數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的日益活躍，利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型，成為解決實(shí)際問題不可或缺的方法與工具．因此，在教學(xué)過程中適當(dāng)滲透建模思想，增加一些建模實(shí)例，不僅不會(huì)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，反而會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中更加得心應(yīng)手．我們?cè)谥v解課程時(shí)，還應(yīng)把常微分方程模型的歸結(jié)方法羅列出來，讓學(xué)生初步了解該門課程在解決實(shí)際問題中所起的作用．應(yīng)用常微分方程懈決實(shí)際問題的方法歸結(jié)為如下幾種：一是根
3、據(jù)規(guī)律列方程；二是微元分析法；三是模擬近似法．下面就幾個(gè)常用的實(shí)例來說明常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用．1根據(jù)規(guī)律列方程學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了許多經(jīng)過實(shí)踐或?qū)嶒?yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律或定律，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、牛頓冷卻定律、曲線的切線性質(zhì)、虎克定律、基爾霍夫定律、物質(zhì)放射性規(guī)律等，它們都涉及到函數(shù)的變化率，必然可以和導(dǎo)數(shù)或微分聯(lián)系起來，進(jìn)一步建立相關(guān)的微分方程．例1收音機(jī)接收回路的簡(jiǎn)化L-C電路．現(xiàn)在考慮的L-C電路，它是收音機(jī)接收回路的簡(jiǎn)化電路．是由電容C、電感L和某個(gè)無線電電臺(tái)發(fā)射的無線電波的電磁場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)∈(￡)串聯(lián)所成的回路．解可用基爾霍夫定律來建立對(duì)應(yīng)的常微分方程．自變量取時(shí)間
4、t，未知函數(shù)取回路，
5、r中的電流強(qiáng)度J(￡)，電感L的電壓降為L(zhǎng)繁，n電容c的電壓降為菁，其中Q為電量，由Io的定義得f一掣，或Q=IIdt，在整個(gè)回路U●J中，所有支路上的電壓的代數(shù)和等于零，即有L學(xué)十去IM￡一￡(￡)．此方程中既有J的導(dǎo)收稿日期：2008—07—02基金項(xiàng)目：黑龍江省新世紀(jì)高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目；黑龍江省高等教育學(xué)會(huì)高等教育科學(xué)研究“十一五”規(guī)劃課題(115C-289)(115C一740)作者簡(jiǎn)介：郭爽(1972一)，女，黑龍江大慶人，大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)系剮教授。主要從事數(shù)學(xué)微分方程邊值問題研究．萬方數(shù)據(jù)58數(shù)學(xué)教學(xué)研究第28卷第4期2009年4月
6、數(shù)，又有I的積分，它還不是微分方程．但可將其歸結(jié)為一個(gè)未知函數(shù)的二階微分方程．為此令z一71Idt，則有C面dx—I，于是，uJu■Lc囂+z一￡(￡)．如果仍用j作未知函數(shù)，可以得到關(guān)于J的微分方程豢+壺z一吾億)．2微元分析法例2(混合溶液的數(shù)學(xué)模型)設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽，內(nèi)含有鹽10kg，現(xiàn)以3L／rain的速度注入質(zhì)量濃度為0．01kg／L的淡鹽水，同時(shí)以2L／rain的速度抽出混合均勻的鹽水，求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型．解設(shè)t時(shí)刻容器內(nèi)的鹽量為X(￡)kg，考慮t到￡+dt時(shí)間內(nèi)容器中鹽的變化情況，在d￡時(shí)間內(nèi)，“容器中鹽的改變量一注人的鹽水中所含鹽量一抽
7、出的鹽水中所含鹽量”，容器內(nèi)鹽的改變量為出，注入的鹽水中所含鹽量為0．01×3dt，t時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為面西≠囂筆甄，假設(shè)￡到t+dt時(shí)間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不變(事實(shí)上，容器內(nèi)的溶液質(zhì)量濃度時(shí)刻在變，由于出時(shí)間很短，可以這樣看)．于是抽出的鹽水中所含鹽量為而礦吾茜筆瓦2d￡，這樣即可列出方程dx—o．03出一面言毛d￡，11．ddx￡一o．03一麗2x．又因?yàn)閠=O時(shí)，容器內(nèi)有鹽10kg，于是得該問題的數(shù)學(xué)模型為』查+志-o．03dti00t，．．J+“’lz(0)一10．這是一階非齊次線性方程的初值問題，其解為礎(chǔ))_o．01(100-I-肘器．下面對(duì)該問題
8、進(jìn)行一下簡(jiǎn)單的討論，由上式不難發(fā)現(xiàn)：t時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為∞)=畿·o．01+揣，且當(dāng)￡一+∞時(shí)，戶(￡)一o．01，即長(zhǎng)時(shí)間地進(jìn)行上述稀釋過程，容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量濃度．溶液混合問題的更一般的提法是：設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量的溶液，以流量y。注入質(zhì)量濃度為C1的溶液(指同一種類溶液，只是質(zhì)量濃度不同)。假定溶液立即被攪勻，并以V：的流量流出這種混合溶液，試建立容器中質(zhì)量濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型．首先設(shè)容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為z(f)，原來的初始質(zhì)量為鰳，￡一0時(shí)溶液的體積為n，在出時(shí)間內(nèi)，容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)
