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《常微分方程在數(shù)學建模中的應用6new》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、萬方數(shù)據(jù)第28卷第4期2009年4月數(shù)學教學研究57常微分方程在數(shù)學建模中的應用郭爽1侯麗英2李秀麗1I．大慶師范學院數(shù)學系，黑龍江大慶163712；2．黑龍江八一農墾大學數(shù)學系，黑龍江大慶163319摘要：微分方程模型在自然科學中的應用主要以物理、力學、化學、控制論等客觀規(guī)律為基礎建立起來，而在經濟學、生物學等方面的應用也越來越廣泛．本文闡述常微分方程在數(shù)學建模中的作用，介紹了解決實際問題的3種方法．關鍵詞：數(shù)學建模；徽分方程中圖分類號：0175．1常微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設的基礎課程，常微分方程與微積分是同時產生的，一開始就成為人類認識世界和改造世界的有力工
2、具，隨著生產實踐和科學技術的發(fā)展，該學科已經演變發(fā)展為數(shù)學學科理論中理論聯(lián)系實踐的一個重要分支．在力學、物理、化學、生物學、醫(yī)學、自動控制和經濟管理等各個學科中，都能找到它的影子．隨著數(shù)學建?；顒拥娜找婊钴S，利用微分方程建立數(shù)學模型，成為解決實際問題不可或缺的方法與工具．因此，在教學過程中適當滲透建模思想，增加一些建模實例，不僅不會增加學生的學習負擔，反而會激發(fā)學生的學習興趣，進而在數(shù)學建?；顒又懈拥眯膽郑覀冊谥v解課程時，還應把常微分方程模型的歸結方法羅列出來，讓學生初步了解該門課程在解決實際問題中所起的作用．應用常微分方程懈決實際問題的方法歸結為如下幾種：一是根
3、據(jù)規(guī)律列方程；二是微元分析法；三是模擬近似法．下面就幾個常用的實例來說明常微分方程在數(shù)學建模中的應用．1根據(jù)規(guī)律列方程學生已經學習了許多經過實踐或實驗檢驗的規(guī)律或定律，如牛頓運動定律、牛頓冷卻定律、曲線的切線性質、虎克定律、基爾霍夫定律、物質放射性規(guī)律等，它們都涉及到函數(shù)的變化率，必然可以和導數(shù)或微分聯(lián)系起來，進一步建立相關的微分方程．例1收音機接收回路的簡化L-C電路．現(xiàn)在考慮的L-C電路，它是收音機接收回路的簡化電路．是由電容C、電感L和某個無線電電臺發(fā)射的無線電波的電磁場產生的感應電動勢∈(￡)串聯(lián)所成的回路．解可用基爾霍夫定律來建立對應的常微分方程．自變量取時間
4、t，未知函數(shù)取回路，
5、r中的電流強度J(￡)，電感L的電壓降為L繁，n電容c的電壓降為菁，其中Q為電量，由Io的定義得f一掣，或Q=IIdt，在整個回路U●J中，所有支路上的電壓的代數(shù)和等于零，即有L學十去IM￡一￡(￡)．此方程中既有J的導收稿日期：2008—07—02基金項目：黑龍江省新世紀高等教育教學改革工程項目；黑龍江省高等教育學會高等教育科學研究“十一五”規(guī)劃課題(115C-289)(115C一740)作者簡介：郭爽(1972一)，女，黑龍江大慶人，大慶師范學院數(shù)學系剮教授。主要從事數(shù)學微分方程邊值問題研究．萬方數(shù)據(jù)58數(shù)學教學研究第28卷第4期2009年4月
6、數(shù)，又有I的積分，它還不是微分方程．但可將其歸結為一個未知函數(shù)的二階微分方程．為此令z一71Idt，則有C面dx—I，于是，uJu■Lc囂+z一￡(￡)．如果仍用j作未知函數(shù)，可以得到關于J的微分方程豢+壺z一吾億)．2微元分析法例2(混合溶液的數(shù)學模型)設一容器內原有100L鹽，內含有鹽10kg，現(xiàn)以3L／rain的速度注入質量濃度為0．01kg／L的淡鹽水，同時以2L／rain的速度抽出混合均勻的鹽水，求容器內鹽量變化的數(shù)學模型．解設t時刻容器內的鹽量為X(￡)kg，考慮t到￡+dt時間內容器中鹽的變化情況，在d￡時間內，“容器中鹽的改變量一注人的鹽水中所含鹽量一抽
7、出的鹽水中所含鹽量”，容器內鹽的改變量為出，注入的鹽水中所含鹽量為0．01×3dt，t時刻容器內溶液的質量濃度為面西≠囂筆甄，假設￡到t+dt時間內容器內溶液的質量濃度不變(事實上，容器內的溶液質量濃度時刻在變，由于出時間很短，可以這樣看)．于是抽出的鹽水中所含鹽量為而礦吾茜筆瓦2d￡，這樣即可列出方程dx—o．03出一面言毛d￡，11．ddx￡一o．03一麗2x．又因為t=O時，容器內有鹽10kg，于是得該問題的數(shù)學模型為』查+志-o．03dti00t，．．J+“’lz(0)一10．這是一階非齊次線性方程的初值問題，其解為礎)_o．01(100-I-肘器．下面對該問題
8、進行一下簡單的討論，由上式不難發(fā)現(xiàn)：t時刻容器內溶液的質量濃度為∞)=畿·o．01+揣，且當￡一+∞時，戶(￡)一o．01，即長時間地進行上述稀釋過程，容器內鹽水的質量濃度將趨于注入溶液的質量濃度．溶液混合問題的更一般的提法是：設有一容器裝有某種質量的溶液，以流量y。注入質量濃度為C1的溶液(指同一種類溶液，只是質量濃度不同)。假定溶液立即被攪勻，并以V：的流量流出這種混合溶液，試建立容器中質量濃度與時間的數(shù)學模型．首先設容器中溶質的質量為z(f)，原來的初始質量為鰳，￡一0時溶液的體積為n，在出時間內，容器內溶質的改變量等于流入溶質的數(shù)
