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《第16講 高階線性微分方程的求解z》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第16講高階線性微分方程的求解知識點(diǎn)1：二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）方程的形式y(tǒng)????pxyqxyfx()??()()（二階線性非齊次微分方程）ypxyqxy????()?()?0（二階線性齊次微分方程）（2）解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)1：設(shè)y(),()xyx是齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解（即y()()xyx?函數(shù)），1212則YC??yxCy()(x)是其次方程的通解，其中CC,是任意常數(shù)。112212*性質(zhì)2：若y是非齊次方程的一個(gè)特解，Yx()是對應(yīng)齊次方程的通解，則*y??yYx()是非齊次方程的通解。性質(zhì)3：設(shè)y(),()xyx是非
2、齊次方程的兩個(gè)相異的特解，則y?yxyx()?()為對應(yīng)1212的齊次方程的解。性質(zhì)4：若y，y分別是二階非齊次線性方程y????pxyqxyfx()??()()與121y?????pxyqxyfx()?()()的解，則y?y是y????pxyqxyfx()???()()fx()的21212解。例1：設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y,,yy都是二階非齊次線性微分ypxyqxyfx????()??()()123的解，CC,是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解應(yīng)為（）12()ACyCy??y11223()BCyCy???()CCy1122123()CCy
3、Cy??(1?CCy?)1122123()DCyCy??(1?CCy?)1122123解：因?yàn)閥,,yy是二階非齊次方程的解，則Cyy()?，Cyy(?)必定為其所對123113213應(yīng)齊次的解，且容易判別Cyy()?，Cyy(?)線性無關(guān)，113213所以由性質(zhì)知選()D。知識點(diǎn)2：二階常系數(shù)線性非齊次方程2（1）方程的形式y(tǒng)p????yq??yf(x)，并稱???pq??0為其特征方程。（2）特解的形式?x*kx?類型1：y????py?qy?ePx()，其中Px()是x的m次多項(xiàng)式，則令yxeQx?()，mmm其中Qx()是x
4、的m次多項(xiàng)式。mk與?的關(guān)系:k?0，?不是特征方程的根；k?1，?是特征方程的單根；k?2，?是特征方程的重根。Qx()與Px()的關(guān)系：mm若Px()為常數(shù)，則令Qx()?a；mm若Px()為一次多項(xiàng)式，則令Qxax()??b；mm2若Px()為二次多項(xiàng)式，則令Qx()?ax??bxc；以此類推。mm?x類型2：y????py?qy?e[()cosPx?xPx?()sin?x]，其中Px()是x的l次多項(xiàng)式，lnl*kx?其中Px()是x的n次多項(xiàng)式，則令yx?eP[(x)cos?xPx?()sin]?x，其中nmmmn?max
5、(,)l。k與?,?的關(guān)系:k?0，???i不是特征方程的根；k?1，???i是特征方程的根。Px()、Px()、Px()與Px()的關(guān)系lnmm若Px()與Px()都為常數(shù)時(shí)，則令Pxa()?，Px()?b；lnmm若Px()與Px()至少有一個(gè)為一次多項(xiàng)式，則令Pxaxb()??，Pxcxd()??；lnmm22若Px()與Px()至少有一個(gè)為二次多項(xiàng)式，則令Px()?ax??bxc，Pxdxexf()???；lnmm以此類推。（3）求通解的步驟Step1：寫出特征方程，并求出根；Step2：求出齊次的通解Yx()；*Step3
6、：用待定系數(shù)法求出非齊次的一個(gè)特解y；*Step4：y??yYx()是非齊次方程的通解。題型1：求二階線性齊次微分方程的通解例1：求微分方程yyy????25??0的通解。2解：特征方程為rr?250??特征根為ri???121,2??xx故通解為y??Cecos2xCesin2x。12例2：求微分方程yyyy????22??????0的通解。32解：特征方程為rrr?22???0特征根為r?2，ri??12,32x故通解為y??CeCcosxC?sinx。123題型2：直接求二階線性非齊次微分方程的通解x例1：求微分方程y????
7、?32yyx?e的通解。2解：特征方程為rr?32??0特征根為rr??1,212x2x齊次的通解為YxCeCe()??12*x設(shè)非齊次的特解為y??xaxbe()1代入原方程得ab???,1?2*1x所以y???xxe(1)2x2xx1從而所求通解為y???CeCex(1??x)e122例2：求微分方程y???yx??cosx的通解。2解：特征方程為r?10?特征根為ri??1,2齊次的通解為YCxCx?cos?sin12設(shè)非齊次方程y???yx?的特解為y?Ax?B1代入方程得AB?1,?0，所以y?x1設(shè)非齊次方程y???y?
8、cosx的特解為y?CxDcos?sinx21代入方程得CD?0,?，21所以y?xxsin221故原方程的通解為y???CxcosCxxxsin?sinx122題型3：確定二階線性非齊次方程特解的類型2例1：微分方程y??????y
