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1、2013參考數(shù)學建模常用方法：數(shù)學建模常用方法系列資料由圣才大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)整理收集。希望能對您有所幫助！拉格朗日插值注：參考<數(shù)學建模與數(shù)學實驗>5．2．1基函數(shù)p(x)由上一節(jié)的證明可以看到，要求插值多項式n，可以通過求方程組（5．1．22）的a,a,...ap(x)解01n得到，但這樣不但計算復雜，且難于得到n的簡單表達式。x,x,...x考慮簡單的插值問題：設函數(shù)在區(qū)間[a，b]上n＋1個互異節(jié)點01n上的函數(shù)值為?1,j?iyj??ij??0,j?i,?j＝0，1，…，nl(x)求插值多項式i，滿足條件l(x)??iijj＝0，1，…n，i＝0，1，…，nx
2、,x,...,x,x,...,xl(x)l(x)H由上式知，01i?1i?1n是i的根，且i∈n，可令l()x)?A(x?x)(x?x)...(x?x)(x?x)...(x?xii01i?1i?1nl(x)?1再由ii得1A?i(x?x)(x?x)...(x?x)(x?x)...(x?x)i0i1ii?1ii?1in于是(x?x)(x?x)...(x?x)(x?x)...(x?x)01i?1i?1nl(x)?i(x?x)(x?x)...(x?x)(x?x)...(x?x)i0i1ii?1ii?1inl(x),l(x),...,l(x)x,x,...xn＋1個n次多項式01
3、n稱為以為01n節(jié)點的n次插值基函數(shù)。n＝1時的一次基函數(shù)為（圖5－2）：x?xx?x10l(x)?,l(x)?01x?xx?x．0110n＝2時的二次基函數(shù)為（圖5－3）：(x?x)(x?x)12l(x)?0(x?x)(x?x)0102(x?x)(x?x)02l(x)?1(x?x)(x?x)1012(x?x)(x?x)01l(x)?2x?xx?x(20)(21)5－25－35．2．2拉格朗日插值多項式x,x,...x現(xiàn)在考慮一般的插值問題：設函數(shù)在區(qū)間[a，b]上n＋1個互異節(jié)點01n上的函數(shù),y,y,...yp(x)值分別為01n，求n次插值多項式n，滿足條件p(x)
4、?y,njjj＝0，1，…n令nLn(x)?y0l0(x)?y1l1(x)?...?ynln(x)??yili(x)i?0（5．2．3）l(x),l(x),...,l(x)x,x,...xL(x)其中01n為以01n為節(jié)點的n次插值基函數(shù)，則n是一次數(shù)不超過n的多項式，且滿足L(x)?ynjj，j＝0，1，…，n再由插值多項式的唯一性，得p(x)?L(x)nn式（5．2．3）表示的插值多項式稱為拉格朗日（Lagrange）插值多項式。特別地，n＝1時稱為線性插值（圖5－4（a）），n＝2時稱為拋物插值或二次插值（圖5－4（b））。l(x),l(x),...,l(x)x,x
5、,...x值得注意的是，插值基函數(shù)01n僅由插值節(jié)點01n確定，與被插x,x,...x函數(shù)f（x）無關。因此，若以01n為插值節(jié)點對函數(shù)f（x）≡1作插值多項式，則由式（5．2．3）立即得到基函數(shù)的一個性質n?li(x)i?0≡1x,x,...x還應注意，對于插值節(jié)點01n，只要求它們互異，與大小次序無關。5－4x例1已知y＝x，0＝4，x1＝9，用線性插值求7的近似值。y解0＝2，y1＝3，基函數(shù)分別為x?41x?41l(x)???(x?9),l(x)??(x?4)014?959?45插值多項式為?11L(x)?yl(x)?yl(x)?2?(x?9)?3?(x?4)10
6、011551?(x?6)5所以137?L(7)??2.615例2求過點（－1，－2），（1，0），（3，－6），（4，3）的三次插值多項式。xx解以0＝－1，x1＝1，x2＝3，3＝4為節(jié)點的基函數(shù)分別為(x?1)()x?3)(x?4)1l(x)??(x?1)(x?3)(x?4)0(?1?1)(?1?3)(?1?4)40(x?1)(x?3)(x?4)1l(x)??(x?1)(x?3)(x?4)1(1?1)(1?3)(1?4)12(x?1)(x?1)(x?4)1l(x)???(x?1)(x?1)(x?4)2(3?1)(3?1)(3?4)8(x?1)(x?1)(x?3)1l(
7、x)??(x?1)(x?1)(x?3)3(4?1)(4?1)(4?3)15插值多項式為3L3(x)??yili(x)i?1?11?(?2)?(x?1)(x?3)(x?4)?0?(x?1)(x?3)(x?4)4012?11?(?6)?(x?1)(x?1)(x?4)?3?(x?1)(x?1)(x?3)81532?x?4x?35．2．3插值余項RL插值多項式的余項n（x）＝f（x）－n（x），也就是插值的截斷誤差或方法誤差。關于余項有如下的余項定理：(n?1)定理設被插函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上n階導數(shù)連續(xù)，f(x)在開區(qū)間（
