一類二階非線性中立型微分方程周期解的存在性

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1、華南師范大學學報(自然科學版)2010年5月JOURNALOFSOUTHCHINANORMALUNIVERSITY2010年第2期





















May2010(NATURALSCIENCEEDITION)
No.2,2010文章編號:1000-5463(2010)02-0027-05一類二階非線性中立型微分方程周期解的存在性宋利梅(嘉應(yīng)學院數(shù)學學院,廣東梅州514015)摘要:利用k
集壓縮算子的抽象連續(xù)性定理,討論了一類二階非線性中立型微分方程周期解的存在性,得到周期解存在的充分條件.關(guān)鍵詞:中立型微分方程;周期解;k
集壓縮算子中圖分類號:O175

2、.14


文獻標志碼:A(t,x,y),t!(t)<1,T>0為常數(shù).1
引言與預(yù)備知識[3]定義1
設(shè)X是一個實Banach空間,S是X的有界子集,令眾所周知,在大量的自然和社會活動中,時滯現(xiàn)X(S)=inf{>0:S可表示為有限個集的并:象幾乎都是不可避免的.所以對時滯微分方程的研m
S=?Si,使每個Si的直徑diamX(Si)%},(4)i=1究受到廣泛的關(guān)注.隨著泛函微分方程應(yīng)用的不斷則稱X(S)為S的非緊性測度或Kuratowski距離.推廣及理論研究的逐漸深入,近年來時滯微分方程[3]定義2
設(shè)X,Y均是實Banach空間,DX,周期解的存在性問題的研究也非常

3、活躍,并有了一些很好的研究成果[1-4].如王根強和燕居讓[1]利用算子N:D&Y連續(xù)、有界,如果存在常數(shù)k?0,使對任何有界集SD,都有Y(N(S))%kX(S),則稱重合度理論研究了一類二階非線性中立型方程N是D上的k
集壓縮映射.[x(t)+cx(t-t)]+g(t,x(t-
))=p(t)(1)如果L:DomLX&Y是指標為零的Fredholm的周期解存在性問題,其中c,t,
均為常數(shù).朱艷[2]算子,由文獻[4]可以知道,對任何有界集BDomL,玲和魯世平利用重合度理論研究了一類變時滯微分方程sup{!>0:!X(B)%Y(L(B))}是存在的,因而可[x(

4、t)-cx(t-
)]+g(t,x(t-t(t)))=p(t)(2)以定義è周期解的存在性問題,其中c,
為常數(shù),t(t)為Rl(L)=sup{!>0:!X(B)%Y(L(B)),上連續(xù)T周期函數(shù).顯然,方程(1)是方程(2)當

對任何有界集BDomL}.(5)[5]t(t)退化為常數(shù)時的特殊情況.上述方程的共同特引理1
設(shè)L:DomLX&Y是指標為零的點是方程非線性項不含x導(dǎo)數(shù)項.本文將利用k
集線性Fredholm算子,yY是一固定點.假設(shè)N:?&壓縮算子的抽象連續(xù)性定理及一些分析技巧研究以Y是k
集壓縮映射,k

5、中立型微分方程周期解0?對稱的開子集,并且滿足:的存在性問題(R1)Lx?lNx+ly,x#?,l(0,1);
[x(t)-cx(t-r)]=(R2)[QN(x)+Qy,x]([QN(-x)+Qy,x]<0,
f(t,x(t-t(t)),x!(t-t(t)))+p(t),(3)xKerL)#?,1è其中r,c是常數(shù),r?0,

6、c

7、<1,t(t)C(R,R),其中[(,(]是Y#X上的某個雙線性泛函,Q是2èp(t)C(R,R),f(t,x,y)C(R#R,R),且投影算子,Q:Y&Y/ImL.那么,存在x?,滿足Lxt(t+T)=t(t),p(t+T)=p(t),f(t+T,x,y

8、)=f=Nx+y.收稿日期:2010-01-04作者簡介:宋利梅(1975),女,廣東梅州人,嘉應(yīng)學院講師,主要研究方向:常微分方程,Emai:lsonglimei1001@163.com.28華南師范大學學報(自然科學版)2010年(H2)設(shè)存在常數(shù)M1>0,使得當x>M1時,è2
主要結(jié)果(t,y)R#R,有f(t,x,y)+p(t)>0(<0),è當x<-M1時,(t,y)R#R,有f(t,x,y)+11è設(shè)X=CT={x:xC(R,R),x(t+T)=x(t)},p(t)<0(>0);其模定義為

9、x

10、1=max{

11、x

12、0,

13、x!

14、0};Y=CT={x:(H3)令f+(t,

15、x,y)=max{f(t,x,y),0},f-(t,x,y)=max{-f(t,x,y),0},則

16、f

17、+f=2f+,

18、f

19、-èxC(R,R),x(t+T)=x(t)},其模定義為

20、x

21、0=èf=2f-.設(shè)存在非負數(shù)a1,a2,a3,使得對(t,x,y)max{

22、x(t)

23、}.那么在此范數(shù)下X,Y均為Banacht[0,T]2èR#R成立空間.2f-(t,x,y)%a1

24、x

25、+a2

26、y

27、+a3,定義算子L為:2或dL:DomLX&Y,(Lx)(t)=2[x(t)-c