標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)中特殊初等算子地范數(shù)

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1、目錄目錄摘要............................................................iAbstract.......................................................ii第一章引言及預(yù)備知識.......................................1第二章希爾伯特空間上的討論.................................5§2.1d(RA,B)的范數(shù)表示和關(guān)系特征.........................5§2.2

2、d(I+UA,B)的最值估計(jì)................................9第三章d′(RA,B)及相關(guān)結(jié)論..................................12第四章一般賦范線性空間上的討論...........................15§4.1d(RA,B)的范數(shù)表示和特征............................15§4.2一些特殊初等算子的結(jié)果和證明......................21參考文獻(xiàn)..........................................

3、............27攻讀碩士學(xué)位期間完成的主要學(xué)術(shù)論文.........................30致謝...........................................................31iii萬方數(shù)據(jù)第一章引言及預(yù)備知識第一章引言及預(yù)備知識算子代數(shù)理論產(chǎn)生于20世紀(jì)30年代,隨著這一理論的迅速發(fā)展,現(xiàn)在這一理論已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱門分支.它與量子力學(xué)、交換幾何、線性系統(tǒng)、控制理論、數(shù)論以及其他一些重要數(shù)學(xué)分支都有著出人意料的聯(lián)系和相互滲透.近年來,為了進(jìn)一步研究算子代數(shù)的結(jié)構(gòu),許多學(xué)者對初等算子

4、的范數(shù)進(jìn)行了深入的研究.在算子代數(shù)的研究中,人們長期關(guān)注初等算子的相關(guān)理論,而對此理論的研究,人們長期關(guān)注的問題是初等算子的范數(shù)估計(jì).例如針對初等算子UA,B,M.Mathieu在[19]中證明了在素C?代數(shù)中∥UA,B∥≥32∥A∥∥B∥;Cabrera和Rodriguez在[10]中證明了在素JB?代數(shù)中∥UA,B∥≥20412∥A∥∥B∥;Stacho和Zalar在[27]中證明了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)中希爾伯特空1間上∥U2?1)∥A∥∥B∥;最近在[28]中他們又證明了∥UA,B∥≥∥A∥∥B∥,使初A,B∥≥2(√等算子UA,B的范數(shù)估計(jì)一步步完善.A

5、.Seeddik主要研究了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)中的秩一算子,并構(gòu)造了d(RA,B)來表示RA,B作用在E上的所有單位秩一算子的范數(shù)的上確界來對特殊初等算子的范數(shù)進(jìn)行研究.本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究,使一些結(jié)論得到推廣和深化.在這篇論文中,我們采用以下定義及說明:(1)設(shè)E是數(shù)集K(R或C)上的賦范空間(不要求是巴拿赫空間),B(E)是上所有有界線性算子構(gòu)成的賦范代數(shù),記A是B(E)上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)(即它是包含B(E)上所有有限秩算子的子代數(shù)).設(shè)A=(A1,···,An)和B=(B1,···,Bn)是A中的元素構(gòu)∑n成的n元組,我們定義A上的初等算子RAiXBi,

6、對任意X∈A.如果AA,B(X)=i,i=1Bi中含有一個(gè)單位元I,則稱A包含單位元I.首先對于任意的A,B∈A,我們定義幾個(gè)特殊的初等算子:(i)δA,B(X)=AX?XB,則稱δA,B廣義導(dǎo)子.(ii)MA,B(X)=AXB,則稱MA,B為雙乘算子.(iii)UA,B(X)=AXB+BXA,則稱UA,B(X)為對稱雙乘算子.1萬方數(shù)據(jù)第一章引言及預(yù)備知識(2)如果F是一個(gè)賦范空間,我們采用F′表示F的拓?fù)鋵ε伎臻g,以及(F)1表示F的單位球面.(3)?是數(shù)域K上的一個(gè)單位的賦范代數(shù),且A=(A1,···,An)∈?n,那么A的n-代數(shù)數(shù)值域?yàn)閂(A)

7、={(f(A1),···,f(An)):f∈ρ(?)},其中ρ(?)={f∈?′:f(I)= ∥f∥=1}是?上所有態(tài)組成的集合.A的n-數(shù)值半徑是ω(A)=sup{√∑ni=1

8、λi

9、2:(λ1,···,λi=1∥Ai∥n)∈V(A)},A的n-范數(shù)是∥A∥=√2,易知V(A)是Kn的非空閉的∑n凸子集.如果∥A∥=ω(A),那么我們稱A為n-normaloid.當(dāng)n=1時(shí)我們分別稱它們?yōu)榇鷶?shù)數(shù)值值域,數(shù)值半徑,A的范數(shù),A為正規(guī)的.更多詳細(xì)說明參見([25]).(4)對(x,f)∈E×E′,我們用(x?f)(y)=f(y)x定義E上的一個(gè)算子x?f,

10、用F表示作用在E上的所有秩一算子的全體,顯然F={x?f:∥x∥=∥f∥=1},