有限元方法中網(wǎng)格編碼的優(yōu)化問題new

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1、第17卷第2期工科數(shù)學(xué)Vo1．17，N9．22001年4月joURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYApr．2001有限元方法中網(wǎng)格編碼的優(yōu)化問題趙登虎，李志敏。(1．南京政治學(xué)院，南京2100032．青島建筑工程學(xué)院，青島266033)1引言有限元理論。指出：網(wǎng)格編碼決定了總剛矩陣中非零元素的數(shù)目及位置．一方面，由于總剛矩陣的稀疏性、帶狀性和對稱性，總剛矩陣有必要采用一維存貯．存貯的最大長度即存貯空間等于矩陣中非零和有效零元素的數(shù)目．另一方面，總剛矩陣的對稱性和正定性，決定了矩陣分解(即LL分解)和回代求解過程所需的計(jì)算量與

2、非零元素?cái)?shù)目成立方關(guān)系．即計(jì)算量=d·(非零和有效零元素的數(shù)目)，其中d是常數(shù)．因此，從這兩方面考慮，網(wǎng)格編碼對有限元方法起著決定性和重要性的作用．人們在處理編碼問題時(shí)，出于直覺和簡單，往往給予一種有規(guī)律性的編碼或人為地規(guī)定一種編碼．常用的是直線式編碼(見圖1、圖2)，但這往往不能獲得滿意的效果．8r6●121318~7UlS10圈1圈2考慮到事實(shí)：編碼不會改變總剮矩陣的性質(zhì)和編碼方案的有限性．可以推斷：最佳編碼的存在性是毫無疑問的，且肯定不是唯一的．這就給我們選擇一種規(guī)律強(qiáng)和簡易的編碼方法提供了基礎(chǔ)．在§2給出了一種新的網(wǎng)格編碼方法．2優(yōu)化的編碼方

3、法2．1記號(i)：含有個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格區(qū)域；(ii)AAz?A：的整體編碼，是123?的某一排列，共有!種可能I(iii)N={1，2，3．．．·，}；(iv)G，：節(jié)點(diǎn)，的影響節(jié)點(diǎn)集，cGⅣ，UG一Ⅳ}(v)：節(jié)點(diǎn)，的影響節(jié)點(diǎn)集的最小節(jié)點(diǎn)編碼，一mjnA，∈Ⅳ，∈N}J(vi)KD：編碼AA?Ao所生成總剛矩陣的最大一維存貯長度，丘D一∑(A一+1)}[收稿日期]2000—03—0622工科數(shù)學(xué)第17卷(vii)T一∑；∞=妻j=tⅣ)一、r驀r(Ix)JEJ：有限集合E的元素個(gè)數(shù)．2．2結(jié)論對n，確定?，使KD最?。?minKD骨max']’．

4、證KD一∑(一+1)=∑A．一∑+∑1一∑而叢_3)是一個(gè)與A1?A無關(guān)的常數(shù)，得證．0，∑一籀A命囊271一∑鞏且∑一n．『1∑證：∑一∑∑d(J，)]一∑虬，一∑(，)∑[∑(，)]一∑．·=】一1r一】J一1J一】?1—1J=】命愛3h—IG-UG~1．A+證如果AG，則aj~eA．，從而∑(，A,)-O，∑A=∑(，A)．Ai∈b如果AsEG，則有AEGj，從而q≤A．一∑(．A)=∑(，A)^∈ctAEGA)+∑(，A)一∑1AIEq}‘^。t記G一{，l一A，A，EG，)，={l<，A∈G)，則G一GUG，Gm=，^一lGlJ_記G=UG

5、，，下面證明：-<^NG一，(1)CCG．(2)證(i)假設(shè)GnG≠，則A∈G且A。EG．由A∈G，知=；由A∈G，知了AA，A∈N)，={一』l，一ll一1，?，一l』G，一l+1

6、)，則第2期趙登虎等：有限元方法中網(wǎng)格編碼的優(yōu)化問題23≤一ll—lG一I+1．當(dāng)且僅當(dāng)G．一=c時(shí)等號成立．證顯然G．一(G一)U(cZfl)．一(G，一)fl(Gn)，AEG一≠，故一mmA。J=min(minA。．rainA，)一rainA．．l^∈he^∈—t。Ai∈G—t’},由定義知B={A一ll，A。+ll一1，?．A+1}一{，一1，?，—ll+l}，故A一一ll且Ⅳ一B={l1．一IBl一1，?，一ll～lG一l+1，?，1}．由GCN推出G一cⅣ一．所以=rainA≤一IBllG一f+1，^E一，當(dāng)?shù)忍柍闪r(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)G一一{一l

7、l，?，一ll—lG一I+1}，即G一一．命題5≤一lGUI+1，當(dāng)且僅當(dāng)G，一一時(shí)．等號成立．證由命題4，只需證lGUI—ll+IG—B而tJ(GI一)=6UB及n(G，一)一．命題6若A?！蔊．A∈G且A>A，則≥，其中=～}GUl+1．證由A>A【知c，從而有UGUG，即lGUl≤lGU1．故=一lGUl+1≥一lGUl+l一．推論若A∈GA∈6，A>A【，一，則一．命題7

8、A∈G．一．證取A一，則G一={^}，所以lG，一l：1，={～f1)={^}．故G，一：．由命題4知，命題7成立．推論m—rain．●∈2．3優(yōu)化的編碼方法由命題l·在僅

9、知G(IEⅣ)的情況下，給Ai(iEN)~R，使T盡可能大．而丁=∑知，要使T極r—I大，一方面可考慮“這時(shí)