數(shù)形結合思想(全國高中)(時數(shù)形結合)

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1、第1講數(shù)形結合思想（高中版）（第2課時）考點熱點一定掌握！常用的數(shù)與形的轉(zhuǎn)化策略有下面一些：1．實數(shù)數(shù)軸上的點例．已知集合A={x｜5–x≥}，B={x｜x2–ax≤x–a}，當AB時，則a的取值范圍是。解：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，畫數(shù)軸可得a＞3。2．絕對值距離例．解不等式⑴，⑵，⑶。（高二）解：⑴x的絕對值小于5，就是點x到原點的距離小于5的意思。⑵x的絕對值大于5，就是點x到原點的距離大于5的意思。⑶x-3的絕對值小于5，就是點x到點3的距離小于

2、5的意思。-505-505-2038矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。3．集合的運算韋恩圖例．向50名學生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈。解：如圖，贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生為集合A；贊成事件B的學生為集

3、合B。殘騖樓諍錈瀨濟溆塹籟。設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x，則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1，贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x，釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50，解得x=21，所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人。4．集合點集（即曲線）例.設a、b是兩個實數(shù)，A＝{(x，y)

4、x＝n，y＝na＋b}（n∈Z），B＝{(x，y)

5、x＝m，y＝3m＋15}(m∈Z)，C＝{(x，y)

6、x＋y≤144}，能否

7、使得A∩B≠φ與(a，b)∈C同時成立。彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。分析：集合A、B都是不連續(xù)的點集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B時x＝n＝m）。再抓住主參數(shù)a、b，則此問題的幾何意義是：動點(a，b)在直線L：nx＋y＝3n＋15上，且直線與圓x＋y＝144有公共點，但原點到直線L的距離不小于12。謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔。解法一：由A∩B≠φ得na＋b＝3n＋15，設動點(a,b)在直線L：nx＋y＝3n＋15上，且直線與圓x＋y＝1

8、44有公共點，所以圓心到直線距離d＝＝3(＋)≥12∵n為整數(shù)∴上式不能取等號，故a、b不存在。點評：集合轉(zhuǎn)化為點集（即曲線），而用幾何方法進行研究。解法二：本題直接運用代數(shù)方法進行解答的思路如下：由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15,即b＝3n＋15－an（①式），由(a,b)∈C得，a＋b≤144（②式），把①式代入②式，得關于a的不等式：(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0（③式），廈礴懇蹣駢時盡繼價騷。它的判別式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)

9、－144]＝－36(n－3)，因為n是整數(shù)，所以n－3≠0，因而△<0，又因為1＋n>0，故③式不可能有實數(shù)解，所以不存在a、b，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C同時成立。5．函數(shù)圖象例．若log2b>1；D.b>a>1。鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴。簡解：畫出對數(shù)曲線，由已知應選B。例．如果

10、x

11、≤,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是（）籟叢媽羥為贍僨蟶練淨。A.；B.－；C.－1；D.。預頌圣鉉儐歲齦

12、訝驊糴。簡解：設sinx＝t后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，故應選D。6．一元多項式的根曲線與x軸的交點的橫坐標7．方程的根曲線交點的坐標例．設f(x)=x2–2ax+2，當x∈［–1,+∞］時，f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍。解法一：由f(x)＞a，在［–1，+∞］上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1，+∞］上恒成立。函數(shù)g(x)=x2–2ax+2–a的圖象在區(qū)間［–1，+∞］上位于x軸上方，如圖兩種情況：滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。不等式的成立條件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜

13、0a∈(–2，1)(2)a∈(–3，–2，綜上所述a∈(–3，1)。解法二：由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象.如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對應的a值（即直線的斜率）分別為1，–3，故直線l對應的a∈(–3,1).8．一元二次不等式的解函數(shù)的圖像例．解不等式。（高二）y解：原等式化為拋物線與x軸有兩個交點，橫坐標分別為-1和1.5。由圖可見，要y>0，必要x<-1，或x>1.5。