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《用矩陣的初等行變換求n個整數(shù)的最大公因子》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、用矩陣的初等行變換求N個整數(shù)的最大公因子摘要：初等變換是高等代數(shù)中重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)出很大的實用性。本文在常規(guī)方法（提取公因數(shù)法、分解質(zhì)因數(shù)法等）的基礎(chǔ)上,運用最大公因子的理論知識和矩陣的初等行變換，簡便有效地求出N個數(shù)的最大公因子。其意義在于體現(xiàn)這種方法的優(yōu)越性,促進(jìn)此類問題的研究。關(guān)鍵詞：初等行變換；整數(shù)；最大公因子UsingtheMatrix’sElementaryRowTransformationtoSolvetheGreatestCommonFactorofNIntegerAb
2、stract:Elementarytransformationisoneoftheimportantcomponentsinhigheralgebraandshowsgreatpracticalapplicabilityinmathematicslearning.Onthebasisofconventionalmethods(i.e.thecommonfactorwithdrawal,primefactordecomposition,etc),thispaperputsforwardasimpleme
3、thodforeffectivelyworkingoutthegreatestcommonfactorofNintegerbyadoptingthetheoryofthegreatestcommonfactorandelementaryrowtransformation.Thesignificanceofthismethodliesinitssuperiorityandcanpromoteresearchonthiskindofproblems.Keywords:elementaryrowtransf
4、ormation;integer;greatestcommonfactor1引言初等數(shù)論的基礎(chǔ)是整除理論，而整除理論的中心內(nèi)容又是最大公因子理論.最大公因子理論看起來似乎很簡單，但它的內(nèi)容卻是十分的重要.解線性方程組中引入矩陣[1]，不僅為解線性方程組帶來極大的方便，同時也發(fā)展和完善了矩陣?yán)碚摫旧?，豐富了矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用.不定方程[2]是初等數(shù)論的一個重要內(nèi)容，而求N個數(shù)的最大公因子又是研究不定方程的一個必不可少的部分.在研究不定方程時，往往需要求出最大公因子，特別是求N（N3）個整數(shù)的最大公因子，那么
5、根據(jù)不定方程的有關(guān)理論，求出最大公因子就可以斷定方程是否有解.而在求最大公因子時，通常的方法都是利用提取公因數(shù)法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法等[3]，這些方法的缺點是計算量過大，步驟繁瑣.尤其是在求N（N）個整數(shù)的最大公因子時，需要進(jìn)行N-1次的運算[4].文獻(xiàn)[1]、[4]、[6]、[10]中將整數(shù)的最大公因子擴(kuò)充到多項式的最大公因式，而且求最大公因式的方法甚多，如提取公因數(shù)法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法等.目前，國內(nèi)外的研究還出現(xiàn)了用計算機語言編寫出程序，只需在電腦上輸入N個多項式（整數(shù)），就可以求出
6、最大公因式（最大公因子）.還有研究將整數(shù)的最大公因子擴(kuò)充到矩陣的最大公因子（左最大公因子和右最大公因子）等.文中的其它文獻(xiàn)也相應(yīng)地介紹了最大公因子的求法及應(yīng)用等理論知識，但這些求最大公因子的方法都具有一定的局限性，并且計算量過大，步驟繁瑣，學(xué)生學(xué)習(xí)時容易出錯，從而不易有效求出最終結(jié)果.本文利用矩陣的初等行變換求N個數(shù)的最大公因子，從而大大地改進(jìn)了輾轉(zhuǎn)相除法等方法所表現(xiàn)出來的缺點.2預(yù)備知識求最大公因子都是在整數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的，這里明確指出，下文所涉及到的數(shù)都是指整數(shù).此外，還需要給出以下定義、引理等基礎(chǔ)
7、知識.定義1設(shè)是n個整數(shù)，如果那么就稱為的公因子．定義2[5]設(shè)是n個不全為0的整數(shù)，那么的公因子中的最大的稱為的最大公因子，記作．當(dāng)=1時，用表示的因子中最大的．定義3設(shè)矩陣A是m×n矩陣，若A中的元素均為整數(shù)，則稱A為m×n整數(shù)矩陣.定義4[6]主對角線上的元素全為1，其它元素都為0的矩陣稱為n級單位矩陣.記作.定義5[7]稱下列變換為整數(shù)矩陣的初等行變換.1.互換整數(shù)矩陣的第行第行，記作；2.用整數(shù)k乘以矩陣的第行，記作；3.把整數(shù)矩陣的第行乘以K以后加到第行，記作.注：定義5中的K只能是中某一
8、數(shù)的整數(shù)倍，目的是保證變換前后都是整數(shù)矩陣，且第一行元素的最大公因子也保持不變.或者用通俗的語言定義就是：矩陣的初等行變換是指對矩陣進(jìn)行下列三種變換：1.互換矩陣兩行的位置（對換變換）；2.用非0常數(shù)遍乘矩陣的某一行（倍乘變換）；3.將矩陣的某一行遍乘一個常數(shù)k加到另一行（倍加變換）上.引理1[8](最大公因子的性質(zhì)定理)若是n個不全為0的數(shù)，則1.（）=（）；2.（）=（）；3.（）=.由引理可知，要求N個整數(shù)的最大公因子，可以轉(zhuǎn)化為求N個非負(fù)整數(shù)的最
