2010年全國數(shù)學(xué)建模a題答案

《2010年全國數(shù)學(xué)建模a題答案》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定摘要加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，需要釆用流量計和油位計來測量進(jìn)/岀油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。但是許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)?？v向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。在求解過程屮，我們對于罐體無變位、罐體產(chǎn)生縱向變位、罐體在水平和縱向都產(chǎn)生變位三種情況，利用解析幾何的方式計算出體積與變位參數(shù)之間的關(guān)系，同時應(yīng)用契比雪夫多項式對體積值進(jìn)行近似多項式展開用以對標(biāo)高和

2、出油量的關(guān)系進(jìn)行擬合表示，得到較為滿意的效果。第一問、（1）針對無變位情況，我們計算得到橢圓油罐容積表達(dá)式為：幾」蘭+口CEK7+arcsin^Lz,利用契比雪夫多項式方法在提高擬合精

3、_2vVvv度的前提下用5階多項式擬合處標(biāo)高和容量之間的函數(shù)關(guān)系；（2）對于縱向變位的情況，當(dāng)橢圓型罐體發(fā)生變位縱向變位角度a=4A°時,我們利用體積等效思想，講上述罐內(nèi)不規(guī)則油量容積的計算轉(zhuǎn)為（1）中規(guī)則油容進(jìn)行計算，利用附件（1）中數(shù)據(jù)利用最小二乘擬合方法算出油位高度的真實值，繼而利用擬合多項式:%變=0.0320H5-1.1361H4+13.2498H3?52.5322H2+395.力48H

4、?408.5976進(jìn)行間隔為lcm的此罐容表進(jìn)行標(biāo)定，得出的表標(biāo)定值如下：lcm2cm3cm4cm???118cm119cm120cm0L0L0L0L???4017.26L4050.08L4082.80L第二問、（1）利用第一問屮等體積的思想，我們同樣可以對縱向傾斜角度僅和橫向傾斜角度0時進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立。（2）在模型的建立過程中得到一個關(guān)于浮游子高度H和偏轉(zhuǎn)角Q、0以及等效高度力之間的一個表達(dá)式，從而利用最小二乘擬合確定變位參數(shù)僅、0。（3）利用已給數(shù)據(jù)求得表達(dá)式:z°+/?=-〃tana+/?,+2tana，繼而再次利用擬合擬合多項式得出間隔為10cm值:10cm20cm3

5、0cm???280cm290cm300cm1352.172223.853082.13???60303.8860690.9861807.31利用附表（2）中的數(shù)據(jù)進(jìn)而進(jìn)行模型正確性與可靠性的檢驗。關(guān)鍵詞：儲油罐罐容表變位契比雪夫公式等效高度最小二乘擬合一、問題的重述加油站一般都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且也都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜

6、和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。儲油罐的主體為圓柱體，兩端為球冠體。用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為＜7=4.1°的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)已給出。請建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為lcm的罐容表標(biāo)定值。（2）對于實際儲油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間

7、的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（已給岀），根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用已給岀的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗?zāi)Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二、問題的分析綜述，該題要解決的問題是儲油罐的變位識別和罐容表的標(biāo)定。顯然這是幾何求解的應(yīng)用問題?？梢酝ㄟ^所學(xué)過知識求解。對于問題一，題目中給岀一個小橢圓型的平頭油罐的模型和縱向的傾斜角的值，并且也給出了對這個罐體無變位和有縱向變位兩種情況的實驗數(shù)據(jù)，所以我們可以把這個問題分成兩部分來解決，首先解決當(dāng)罐體無變位吋罐中儲油量與油液面高度的關(guān)系，其次解決當(dāng)罐體發(fā)

8、生傾斜時罐體屮油的儲油量隨油液面高度的變化。然后對這兩種情況求出的結(jié)果進(jìn)行比較，判斷出油罐變位后對罐容表的影響。最后重新確定變位后罐容表的標(biāo)定值。分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)油罐無變位時，問題比較好解決，我們可以利用積分的方法求出罐中的儲油量和油液面高度的關(guān)系。當(dāng)油罐變位吋，首先要選好坐標(biāo)系，確定傾斜后液面高度是怎樣變化的。也是通過積分的方法進(jìn)行求解，但是我們也可以尋找一點，可以把它等效成無變位的情況去解決。對于問題二，給的是一個實際儲油罐，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。該問題主要是要解決罐內(nèi)儲油