群論在信號(hào)處理中的應(yīng)用

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1、word文檔整理分享群論在信號(hào)處理中的應(yīng)用1引言1.1群論的歷史與背景群論是法國(guó)傳奇式人物埃瓦里斯特?伽羅瓦（EvaristeGalois，1811～1832）的發(fā)明。伽羅瓦是一位天才的數(shù)學(xué)家，但剛過(guò)20歲就不幸死于一場(chǎng)愚蠢的決斗。伽羅瓦在決斗的前一夜，還在匆匆完成他的偉大數(shù)學(xué)創(chuàng)造。他創(chuàng)建了群論，并用群論證明了代數(shù)方程能用根式求解的條件，證明了一般的五次和五次以上代數(shù)方程不能通過(guò)有限次加、減、乘、除和開(kāi)方來(lái)精確求解。群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運(yùn)算和公理而形成的。群的概念在數(shù)學(xué)的許多分

2、支都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其它分支有重要影響。群論的重要性還體現(xiàn)在物理學(xué)和化學(xué)的研究中，因?yàn)樵S多不同的物理結(jié)構(gòu)，如晶體結(jié)構(gòu)和氫原子結(jié)構(gòu)可以用群論方法來(lái)進(jìn)行建模。于是群論和相關(guān)的群表示論在物理學(xué)和化學(xué)中有大量的應(yīng)用。1.2群的定義以及基本性質(zhì)首先來(lái)簡(jiǎn)要說(shuō)明一下群的定義[2]：設(shè)G是一個(gè)非空集合，*是它的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果滿足以下條件：Ⅰ.結(jié)合律成立，即對(duì)G中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；Ⅱ.G中有元素e，它對(duì)G中每個(gè)元素a都有e*a=a，叫做G的左單位元；G中有元素e，它對(duì)G中每個(gè)元素a都有a*e=a，叫做G的

3、右單位元；如果e既是左單位元又是右單位元，則e叫做G的單位元。Ⅲ.對(duì)G中每個(gè)元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使a^(-1)*a=e；則稱G對(duì)代數(shù)運(yùn)算*做成一個(gè)群。一般說(shuō)來(lái)，群指的是對(duì)于某一種運(yùn)算*，滿足以下四個(gè)條件的集合G：（1）封閉性：若a,b∈G,則存在唯一確定的c∈G,使得a*b=c;（2）結(jié)合律成立：任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);（3）單位元存在：存在e∈G,對(duì)任意a∈G，滿足a*e=e*a=a，稱e為單位元，也稱幺元;（4）逆元存在：任意a∈G,存在唯一確定的b∈G,a*b=b*a=e（單位元），則

4、稱a與b互為逆元素，簡(jiǎn)稱逆元，記作a^(-1)=b.通常稱G上的二元運(yùn)算*為“乘法”，稱a*b為a與b的積，并簡(jiǎn)寫(xiě)為ab。若群G中元素個(gè)數(shù)是有限的，則G稱為有限群。否則稱為無(wú)限群。有限群的元素個(gè)數(shù)稱為有限群的階。1.3群論在各領(lǐng)域的應(yīng)用參考資料word文檔整理分享群論是近代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是研究群的結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論。是一門(mén)比較抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科。因?yàn)樗梢杂糜诨玖Ｗ印⒑私Y(jié)構(gòu)、原子結(jié)構(gòu)和晶體結(jié)構(gòu)等許多學(xué)科的各個(gè)方面，因此它已成為近代理論研究的很重要的工具，如：在分子結(jié)構(gòu)測(cè)定中，需要測(cè)定有關(guān)晶體結(jié)構(gòu)、紅外光譜、偶極距、旋光性等，這些性質(zhì)主要是由分子

5、的對(duì)稱性決定的，而分子對(duì)稱性的研究是以運(yùn)用群論為基礎(chǔ)的[3]。認(rèn)識(shí)物質(zhì)結(jié)構(gòu)的最重要的理武器是《量子力學(xué)》，它對(duì)化學(xué)的應(yīng)用便形成了《量子化學(xué)》，而群論架起了分子對(duì)稱性和量子力學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。鑒于描述電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)必須構(gòu)成分子所屬點(diǎn)群的不可約表示的基，所以從分子的對(duì)稱性出發(fā)，運(yùn)用群論的方法，有助于解決結(jié)構(gòu)化學(xué)和量子化學(xué)中的許多問(wèn)題[4]群論在化學(xué)方面的應(yīng)用很廣泛，在應(yīng)用于原子、分子結(jié)構(gòu)問(wèn)題上，但是它不能回答它們的所有結(jié)構(gòu)問(wèn)題，只能在一定程度上解決與分子對(duì)稱性有關(guān)的那一部分問(wèn)題，解決其它問(wèn)題，還需要其它多方面的知識(shí)。科研工作者們也常常會(huì)遇到的很多工

6、程結(jié)構(gòu)物或者機(jī)械零件往往具有很多對(duì)稱性。在過(guò)去利用計(jì)算尺進(jìn)行計(jì)算時(shí)為了減少計(jì)算工作量，總是盡量利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性質(zhì)。結(jié)構(gòu)分析的電子計(jì)算機(jī)方法出現(xiàn)之后，過(guò)去手算不能完成的高次超靜定結(jié)構(gòu)現(xiàn)在也能解算出精確的解答了。但是隨著題目越來(lái)越允未知數(shù)個(gè)數(shù)很多，.存儲(chǔ)量又顯得不夠了。而且人們已經(jīng)不滿足于計(jì)算一個(gè)具體結(jié)構(gòu)，而是進(jìn)一步作設(shè)計(jì)，此時(shí)需要修改尺寸反復(fù)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算工作也成為一個(gè)大問(wèn)題了。另外，原始數(shù)據(jù)的穿孔也使人感到厭煩而容易出錯(cuò)。在這樣的條件下結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的利用又具有很大的興趣了。對(duì)于空間結(jié)構(gòu)的分析這個(gè)問(wèn)題就變得比較突出?？臻g結(jié)構(gòu)一般未知數(shù)很多，采用條形矩陣的

7、存儲(chǔ)帶寬也比較大。存儲(chǔ)量的消費(fèi)比較大，計(jì)算工作量也很大，一般的小型計(jì)算機(jī)就解算不了。而且原始數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備也要用掉許多功夫?？紤]到空間結(jié)構(gòu)往往具有很多對(duì)稱性，利用這些條件，可以得到很大利益。過(guò)去在結(jié)構(gòu)力學(xué)中談到對(duì)稱性，往往都是指鏡像對(duì)稱，或者是完全的軸對(duì)稱。但是現(xiàn)在有一些桿系空間結(jié)構(gòu)，它既沒(méi)有憲全的軸對(duì)稱，然而也不止單純是一個(gè)鏡像對(duì)稱而已。對(duì)于這樣一類對(duì)稱性結(jié)構(gòu)的分析就應(yīng)當(dāng)利用“群論”這個(gè)數(shù)學(xué)工具。利用群論來(lái)分析對(duì)稱性在量子力學(xué)中早就應(yīng)用了，但是在結(jié)構(gòu)分析中還很少見(jiàn)到應(yīng)用。但一些科研工作者還是采用了群論的數(shù)學(xué)工具，利用電子計(jì)算機(jī)解算了一些空間結(jié)構(gòu)的課題[

8、6]?？梢?jiàn)，群論在結(jié)構(gòu)分析中也能得到相應(yīng)的應(yīng)用。近年來(lái),有人試圖將群論引入到網(wǎng)絡(luò)理論中,曾得到了一些結(jié)果。還