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1、論文題目：小行星軌道問題姓名：陳燦斌學號：0121111360303專業(yè)：電氣1104班任課教師：陳建業(yè)一．一．摘要本文針對小行星軌道問題，根據(jù)開普勒定律及二次曲線知識建立線性方程組，通過Matlab編程求解線性方程組，確定這顆小行星的軌道，橢圓的半長軸、半短軸、半焦距、近日點、遠日點，利用橢圓弧長近似公式推導出軌道周長。關(guān)鍵詞：開普勒定律二次曲線線性方程組二．問題重述據(jù)報道：2013年2月16日有一顆直徑大約50米的小行星與地球擦肩而過，小行星撞擊地球危險可能再度引起公眾的關(guān)注。要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，需要在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原
2、點的空間直角坐標系，然后在不同時刻對小行星進行觀測，以確定其軌道。已知在5個不同時刻對某顆小行星進行了5次觀測，表B給出了相應的觀測數(shù)據(jù)。表B：某小行星的5次觀測數(shù)據(jù)（單位：天文單位）12345X坐標5.7646.2866.7597.1687.480Y坐標0.6481.2021.8322.5263.360注：一個天文單位等于地球到太陽的平均距離，即米。你所要作的工作是：確定這顆小行星的軌道，如橢圓的半長軸、半短軸、半焦距、近日點、遠日點，以及橢圓軌道的周長等。三．模型假設1.小行星軌道方程滿足開普勒第一定律；2.以上數(shù)據(jù)真實有效。4四．問題分析
3、與模型建立（1）求解橢圓一般方程的系數(shù)由開普勒第一定律知，小行星的軌道為橢圓，現(xiàn)需要建立橢圓方程()進行求解。天文學家確定小行星運動的軌跡時，他的依據(jù)是軌道上5個點的坐標數(shù)據(jù)。由橢圓軌道屬于二次曲線，是一般方程。為了確定方程中的5個待定系數(shù)，需要將上述5個點的坐標代入上面的方程,得：，寫成矩陣的形式即AX=b，A=X=b=（2）求解轉(zhuǎn)化為標準方程后的系數(shù)為了知道小行星軌道的一些參數(shù)，還必須將二次曲線方程化為橢圓的標準方程形式：.4根據(jù)二次曲線理論，可得橢圓經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移兩種變換后的方程如下：.,,,為C的特征值。所以，橢圓長半軸：；橢圓短半軸：
4、；橢圓半焦距：；近日點h=a-c；遠日點H=a+c。五．計算求解（1）利用matlab軟件求解：首先由5個點的坐標數(shù)據(jù)形成線性方程組的系數(shù)矩陣：求：X0=[5.7646.2866.7597.1687.408];Y0=[0.6481.2021.8232.5263.360];A=zeros(5);X0(1);fori=1:5A(i,1)=X0(i)^2;A(i,2)=2*X0(i)*Y0(i);A(i,3)=Y0(i)^2;A(i,4)=2*X0(i);A(i,5)=2*Y0(i);end;A得：A=33.22377.47010.419911.52
5、801.296039.513815.11151.444812.57202.404045.684124.64333.323313.51803.646051.380236.21276.380714.33605.052054.878549.781811.289614.81606.7200又知A*X=B，求解B:B=[-1-1-1-1-1]';X=AB4得：X'=[0.0508-0.03510.0381-0.22650.1321]即（a1，a2，a3，a4，a5）=（0.0508，-0.0351，0.0381，-0.2265，0.1321）由；，用m
6、atlab計算:fori=1:5a(i)=X(i);endC=[a(1)a(2);a(2)a(3)]det(C)得：C=0.0508-0.0351-0.03510.0381=7.0286e-004求特征值:[vd]=eig(C,'nobalance')得d=0.0088000.0801所以特征值=0.0088，=0.0801.求D4D=[a(1)a(2)a(3);a(2)a(3)a(5);a(4)a(5)1]det(D)得D=0.0508-0.03510.0381-0.03510.03810.1321-0.22650.13211.0000=0.
7、0010于是，橢圓長半軸a=12.7158，短半軸b=4.2147，半焦距c=11.9970。小行星近日點距離和遠日點距離分別為h=a-c=0.7188和H=a+c=24.7128。（2）軌道周長計算由上知橢圓方程為利用橢圓弧長近似公式L=π[1.5(a+b）-√ab]得L=56.7769六．參考文獻【1】張澤湘二次曲線上海教育出版社【2】吳傳生線性代數(shù)（第二版）高等教育出版社【3】Matlab7.0從入門到精通劉保柱人民郵電出版社4
