淺談函數(shù)值域的幾種求法

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1、精品論文薈萃淺談函數(shù)值域的幾種求法內(nèi)蒙古烏海市第一中學(xué)周鶴函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的概念之一，也是教學(xué)中的一大難點(diǎn)，特別是一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的函數(shù)在求值域時(shí)，學(xué)生感到無(wú)從下手，從而直接影響到涉及與范圍有關(guān)的數(shù)學(xué)題的求解。下面就介紹幾種求函數(shù)值域的常用方法。一．配方法。如果一個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式，那么將這個(gè)函數(shù)的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域。例1．求函數(shù)的值域分析：該題比較難處理的是根號(hào)，如果將根號(hào)看作是一個(gè)整體，那么，則原函數(shù)就可以寫成一個(gè)二次函數(shù)的形式，用配方法就可以求出其

2、值域。解：令，則（）于是原函數(shù)變?yōu)?，即值域?yàn)?。[評(píng)注]形如的函數(shù)均可用此法（換元、配方）求值域。二．判別式法。一個(gè)二次分式函數(shù)在自變量沒有其它限制時(shí)就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以移項(xiàng)整理成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，方程有實(shí)數(shù)解則判別式大于零，得到一個(gè)關(guān)于的不等式，解出的范圍就是函數(shù)的值域。三．利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法。如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的，那么就可以利用端點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)求出值域。例2．求函數(shù)（）的值域。解：因?yàn)楹瘮?shù)都在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。于是即值域?yàn)?。四．反函?shù)法

3、。如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)，那么求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。五．利用某些函數(shù)的有界性求函數(shù)值域的方法。如果函數(shù)是由一些有界的初等函數(shù)復(fù)合而成的，那么就可以考慮用來(lái)表示這個(gè)初等函數(shù)，然后利用初等函數(shù)的有界性得到一個(gè)關(guān)于的不等式，解出即可求出的值域。例3．求下列函數(shù)的值域（1）；（2）專業(yè)專注118號(hào)為您服務(wù)-3-精品論文薈萃解：（1）由，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，1）。解法二：因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)椋?，1）。（2）由得，于是有解得所以函數(shù)的值域是。六．利用重要不等式求函數(shù)值域的方法。對(duì)于一些特殊的分式函數(shù)、高

4、于二次的函數(shù)可以利用重要不等式求出函數(shù)的值域。例1．求下列函數(shù)的值域（1）；（2）解（1）要使函數(shù)有意義，則有。所以函數(shù)的值域是（2）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域是。七．?dāng)?shù)形結(jié)合的方法。就是將函數(shù)與圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，利用圖形的直觀性求出函數(shù)的值域。例5求函數(shù)的值域。分析：該題的兩個(gè)根號(hào)實(shí)際上可以看作是兩個(gè)兩點(diǎn)間的距離公式，也就是說(shuō)表示的是點(diǎn)。而點(diǎn)是軸上的任意點(diǎn)，因此該題就可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為一條直線上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的范圍。如圖所示軸上的任意點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和都大于等于、兩點(diǎn)間的距離。所以函數(shù)的值域是。專業(yè)專

5、注118號(hào)為您服務(wù)-3-精品論文薈萃八．換元法。通過換元我們將生疏的函數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù)結(jié)構(gòu)，然后再來(lái)求函安息的值域。特別是某些無(wú)理函數(shù)的值域常用換元法來(lái)求。例1．求函數(shù)的值域。解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，令，則于是又因?yàn)樗?，即函?shù)的值域是。求值域的方法遠(yuǎn)不止上面介紹的幾種，但在教學(xué)中我們一定要注意通性通法的教學(xué)，逐步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。專業(yè)專注118號(hào)為您服務(wù)-3-