2.1函數(shù)值域的幾種求法

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1、函數(shù)值域的若干求法一.函數(shù)值域的幾點解讀在函數(shù)中，與自變量的值對應的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合即為函數(shù)的值域。實質(zhì)上1.當函數(shù)用表格給出時，其值域指表格中實數(shù)的集合。2.當函數(shù)的圖象給出時，其值域即為圖象在軸上的投影所覆蓋的實數(shù)的集合。3.當函數(shù)用解析式給出時，其值域由函數(shù)的定義域及其對應法則唯一確定。4.當函數(shù)由實際問題給出時，其值域由問題的實際意義確定。二.求函數(shù)值域的幾種方法（一）觀察法：對于一些簡單的函數(shù)，可以通過定義域及對應法則，用觀察的方法來確定函數(shù)的值域。例1：求下列函數(shù)的值域解：且所以函數(shù)的值域是：所

2、以函數(shù)的值域是（二）配方法：對于二次三項式有關問題，常根據(jù)求解問題的要求，采用配方法來解決。對于含有二次三項式的函數(shù)，也常用配方法來求其值域。例2：求下列函數(shù)的值域解：配方得：所以函數(shù)的值域是：5顯然的最大值是9函數(shù)的最大值是3且所以函數(shù)的值域是：（三）圖象法就是利用函數(shù)圖象的直觀性求函數(shù)值域的方法例3：求函數(shù)的值域解：將函數(shù)化為分段函數(shù)：函數(shù)圖象如圖示：顯然所以函數(shù)的值域是：（四）換元法：對于一些無理函數(shù)或超越函數(shù)，通過換元把它們化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的一些方法可間接地把原函數(shù)的值域求出。例4：求下列函

3、數(shù)的值域（1）（2）解：令則由二次函數(shù)最大值是知當時當時所以函數(shù)的值域是：（2）設則且于是5所以函數(shù)的值域是：（五）反函數(shù)法若一個函數(shù)是到值域上的一一映射，且反函數(shù)易求，則可利用反函數(shù)的定義域求原函數(shù)的值域例5：求下列函數(shù)的值域（1）（2）解：（1）易求原函數(shù)的反函數(shù)為：由于原函數(shù)的定義域為可得不等式組所以或所以函數(shù)的值域是：（2）易知原函數(shù)的定義域為R，由函數(shù)解析式解出有：當時有故當且僅當時有實數(shù)解所以函數(shù)的值域是：（六）判別式法：即利用一元二次方程根的判別式求。若一個有理函數(shù)式可化為關于的一元二次方程，則可利用來求

4、函數(shù)值域。例6：求下列函數(shù)的值域（1）5（2）解：（1），由可知R分母恒不為0，則原式可化為整理成關于的方程得：解得：（若方程顯然不成立）所以函數(shù)的值域是：（2），將函數(shù)兩邊平方得：于是:由于是實數(shù)，故或得：因為函數(shù)的定義域為，顯然所以函數(shù)的值域是：（七）不等式法利用基本不等式求函數(shù)的值域，要注意條件“一正、二定、三相等”例7：求函數(shù)的值域解：，當時，當時所以函數(shù)的值域是：（八）函數(shù)單調(diào)性法5利用函數(shù)在定義域中的單調(diào)性求其值域例8：求函數(shù)的值域解：令，故不能使用不等式，但在時為增函數(shù)所以函數(shù)的值域是：（九）分離系數(shù)法對

5、于一次分式函數(shù)，用分離系數(shù)法，則較為簡單例9：求的值域解：且所以函數(shù)的值域是：（十）三角函數(shù)法即利用三角函數(shù)的有界性求函數(shù)值域例10：（十一）導數(shù)法求函數(shù)的值域解：令得，由于，故比較可知的最大值是3，最小值是，值域為（十一）幾何意義法把一些代數(shù)式賦予一定的幾何意義，如直線的斜率，線段的長度等?？梢詫⒋鷶?shù)中的求最值問題轉(zhuǎn)化為幾何中的問題解決，實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化5