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《2018年高中數(shù)學(xué) 數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項和第2課時等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用學(xué)案新人教a版》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第2課時 等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握an與Sn的關(guān)系并會應(yīng)用(難點).2.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用(重點).3.會求等差數(shù)列前n項和的最值(重點).4.會用裂項相消法求和(易錯點)．[自主預(yù)習(xí)·探新知]1．Sn與an的關(guān)系an＝2．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，則{an}中連續(xù)的n項和構(gòu)成的數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…構(gòu)成等差數(shù)列．(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))．思考：如果{an}是等差數(shù)列，那么a1＋a2＋…＋a10，a
2、11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列嗎？[提示] (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，類似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列．3．等差數(shù)列前n項和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若
3、干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．思考：我們已經(jīng)知道當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn＝n2＋n，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時有最大值？何時有最小值？[提示] 由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a1<0，d>0時，Sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1>0，d<0時，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值．[基礎(chǔ)自測]1．思考辨析(1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)
4、列也是等差數(shù)列．( )(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項之和最大．( )(3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項和，則有S2n－1＝(2n－1)an.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于( )A．9 B．10C．11D．12B [∵＝，∴＝.∴n＝10.故選B項．]3．等差數(shù)列{an}中，S2＝4，S4＝9，則S6＝________.15 [由S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解
5、得S6＝15.]4．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－48，則Sn取得最小值時，n為________.【導(dǎo)學(xué)號：91432176】23或24 [由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有負項的和最小，即n＝23或24.][合作探究·攻重難]等差數(shù)列前n項和的性質(zhì) (1)等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數(shù)列{an}的前3m項的和S3m；(2)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知＝，求的值．[解] (1)在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列．∴30,70，S3m－100
6、成等差數(shù)列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)＝＝＝＝＝.[規(guī)律方法] 等差數(shù)列前n項和計算的幾種思維方法(1))整體思路：利用公式Sn＝，設(shè)法求出整體a1＋an，再代入求解.((2))待定系數(shù)法：利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，設(shè)Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程組求出A，B即可，或利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)＝an＋b(a≠0)進行計算.[跟蹤訓(xùn)練]1．(1)等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，則S13＝________.【導(dǎo)學(xué)號：91432177】(2)等差數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n＋1，其前n項
7、和為Sn，則數(shù)列的前10項和為________．(1)104 (2)75 [(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，所以S13＝×13＝a7·13＝104.(2)因為an＝2n＋1，所以a1＝3.所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，所以是公差為1，首項為3的等差數(shù)列，所以前10項和為3×10＋×1＝75.]等差數(shù)列前n項和Sn的函數(shù)特征[探究問題]1．將首項為a1＝2，公差d＝3的等差數(shù)列的前n項和看作關(guān)于n的函數(shù)，那么這個函數(shù)有什么結(jié)構(gòu)特征？如果一個數(shù)列的前n項和為Sn＝3n2＋n，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？上述結(jié)論推廣到一般情況成立嗎
8、？提示：首項為2，公差為3的等差數(shù)列的前n項和為Sn＝2n＋＝n2＋n，顯然Sn是關(guān)于n的二次型函數(shù)．且常數(shù)項為0，二次項系數(shù)為，一次項
