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《高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項和（第2課時）等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用學(xué)案新人教A版》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第2課時等差數(shù)列前n項和的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握an與Sn的關(guān)系并會應(yīng)用(難點).1.通過等差數(shù)列前n項和Sn的函數(shù)特征的2.掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用(重學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).點).2.借助等差數(shù)列前n項和Sn性質(zhì)的應(yīng)用及3.會求等差數(shù)列前n項和的最值(重點).裂項相消法求和，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).4.會用裂項相消法求和(易錯點)．1．Sn與an的關(guān)系S1（n＝1），an＝Sn－Sn－1（n≥2）.2．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，則{an}中連續(xù)的n項和構(gòu)成的數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－
2、S3n，…構(gòu)成等差數(shù)列．2(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an＋bn(a，b為常數(shù))．思考：如果{an}是等差數(shù)列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列嗎？[提示](a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，類似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列．3．等差數(shù)列前n項和Sn的最值(1)若
3、a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負(fù)數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．d2思考：我們已經(jīng)知道當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn＝n＋2da1－2n，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時有最大值？何時有最小值？[提示]由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a1<0，d>0時，Sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1>0，d<0時，Sn先增后
4、減，有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值．1．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于()A．9B．10C．11D．12S奇n＋1165n＋1B[∵＝，∴＝.∴n＝10.故選B項．]S偶n150n2．等差數(shù)列{an}中，S2＝4，S4＝9，則S6＝________．15[由S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝15.]3．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－48，則Sn取得最小值時，n為________．23或24[由an≤0即2n－48≤0得n
5、≤24.∴所有負(fù)項的和最小，即n＝23或24.]24.若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝An＋Bn，則該數(shù)列的公差為________．2A[a1＝S1＝A＋B，a2＝S2－S1＝(4A＋2B)－(A＋B)＝3A＋B，∴d＝a2－a1＝2A.]等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)【例1】(1)等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數(shù)列{an}的前3m項的和S3m；Sn7n＋2a5(2)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知＝，求的值．Tnn＋3b5[解](1)在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列．∴30，70，
6、S3m－100成等差數(shù)列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.19（a1＋a9）（a1＋a9）a522S97×9＋265(2)＝＝＝＝＝.b519（b1＋b9）T99＋312（b1＋b9）22等差數(shù)列前n項和計算的幾種思維方法n（a1＋an）(1)整體思路：利用公式Sn＝，設(shè)法求出整體a1＋an，再代入求解．22(2)待定系數(shù)法：利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，設(shè)Sn＝An＋Bn(A≠0)，列出方程組求出A，SnSnB即可，或利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)＝an＋b(a≠0)進行計算．nn1．(1)等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，則S1
7、3＝________．Sn(2)等差數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n＋1，其前n項和為Sn，則數(shù)列n的前10項和為________．(1)104(2)75[(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，a1＋a13所以S13＝×13＝a7·13＝104.2(2)因為an＝2n＋1，所以a1＝3.n（3＋2n＋1）2Sn所以Sn＝＝n＋2n，所以＝n＋2，2nSn所以n是公差為1，首項為3的等差數(shù)列，10×9所以前10項和為3×10＋×1＝75.]2等差數(shù)列前n項和Sn的函數(shù)特征[探究問題]1．將首項為a1＝2，公差d＝3的等差數(shù)列的前n項和看作關(guān)于n的函數(shù)，那
8、么這個函數(shù)2有什么結(jié)構(gòu)特
